Calcolo Esempi

$q = \sqrt[3]{r} + \frac{6}{r}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{r}$ come $r^{\frac{1}{3}}$ .

$q = r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r})$

Passaggio 3

La derivata di $q$ rispetto a $r$ è $q'$ .

$q'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ .

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Passaggio 4.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Passaggio 4.2.5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Passaggio 4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $\frac{6}{r}$ rispetto a $r$ è $6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $\frac{1}{r}$ come $r^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [r^{- 1}]$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 (- r^{- 2})$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} - 6 r^{- 2}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 r^{- 2}$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{r^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

Passaggio 4.4.3.2

$- 6$ e $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 6}{r^{2}}$

Passaggio 4.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - \frac{6}{r^{2}}$

Passaggio 4.4.4

Riordina i termini.

$- \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$q' = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $q'$ con $\frac{d q}{d r}$ .

$\frac{d q}{d r} = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$