Calcolo Esempi

$x = \frac{3 r + 2}{2 r + 3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d r} (x) = \frac{d}{d r} (\frac{3 r + 2}{2 r + 3})$

Passaggio 2

La derivata di $x$ rispetto a $r$ è $x'$ .

$x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ è $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ dove $f (r) = 3 r + 2$ e $g (r) = 2 r + 3$ .

$\frac{(2 r + 3) \frac{d}{d r} [3 r + 2] - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 r + 2$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [2]$ .

$\frac{(2 r + 3) (\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $3 r$ rispetto a $r$ è $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $2$ rispetto a $r$ è $0$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 + 0) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{(2 r + 3) \cdot 3 - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $2 r + 3$ .

$\frac{3 \cdot (2 r + 3) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 r + 3$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [3]$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $2 r$ rispetto a $r$ è $2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $3$ rispetto a $r$ è $0$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 + 0)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.12.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - 2 (3 r + 2)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r + 2)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r) - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.3.1

Combina i termini opposti in $3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r) - 2 \cdot 2$ .

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Passaggio 3.3.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $3 (2 r)$ e $- 2 (3 r)$ .

$\frac{2 \cdot 3 r + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 3 r - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Sottrai $2 \cdot 3 r$ da $2 \cdot 3 r$ .

$\frac{3 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Somma $3 \cdot 3$ e $0$ .

$\frac{3 \cdot 3 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{9 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{9 - 4}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3

Sottrai $4$ da $9$ .

$\frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x' = \frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d r}$ .

$\frac{d x}{d r} = \frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$