Calcolo Esempi

$P = 9 t^{5} \ln (8 t)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (P) = \frac{d}{d t} (9 t^{5} \ln (8 t))$

Passaggio 2

La derivata di $P$ rispetto a $t$ è $P'$ .

$P'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $9 t^{5} \ln (8 t)$ rispetto a $t$ è $9 \frac{d}{d t} [t^{5} \ln (8 t)]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{5} \ln (8 t)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{5}$ e $g (t) = \ln (8 t)$ .

$9 (t^{5} \frac{d}{d t} [\ln (8 t)] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 8 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 t$ .

$9 (t^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$9 (t^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 t$ .

$9 (t^{5} (\frac{1}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

$\frac{1}{8 t}$ e $t^{5}$ .

$9 (\frac{t^{5}}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune di $t^{5}$ e $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $t$ da $t^{5}$ .

$9 (\frac{t \cdot t^{4}}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Scomponi $t$ da $8 t$ .

$9 (\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 8} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$9 (\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 8} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$9 (\frac{t^{4}}{8} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.4.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8 t$ rispetto a $t$ è $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 (\frac{t^{4}}{8} (8 \frac{d}{d t} [t]) + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.4.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

$8$ e $\frac{t^{4}}{8}$ .

$9 (\frac{8 t^{4}}{8} \frac{d}{d t} [t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.4.4.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 (\frac{8 t^{4}}{8} \frac{d}{d t} [t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.4.4.2.2

Dividi $t^{4}$ per $1$ .

$9 (t^{4} \frac{d}{d t} [t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 (t^{4} \cdot 1 + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $t^{4}$ per $1$ .

$9 (t^{4} + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

Passaggio 3.4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$9 (t^{4} + \ln (8 t) (5 t^{4}))$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 t^{4} + 9 (\ln (8 t) (5 t^{4}))$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $5$ per $9$ .

$9 t^{4} + 45 \ln (8 t) t^{4}$

Passaggio 3.5.3

Riordina i termini.

$9 t^{4} + 45 t^{4} \ln (8 t)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$P' = 9 t^{4} + 45 t^{4} \ln (8 t)$

Passaggio 5

Sostituisci $P'$ con $\frac{d P}{d t}$ .

$\frac{d P}{d t} = 9 t^{4} + 45 t^{4} \ln (8 t)$