Calcolo Esempi

$\cos (r) + \cot (x) = e^{r x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (r) + \cot (x)) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (r) + \cot (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (r)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $r$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Passaggio 2.2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r$ .

$- \sin (r) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [r]$ come $r'$ .

$- \sin (r) r' + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Passaggio 2.3

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = r x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = r$ e $g (x) = x$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [r])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [r])$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $r$ per $1$ .

$e^{r x} (r + x \frac{d}{d x} [r])$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [r]$ come $r'$ .

$e^{r x} (r + x r')$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{r x} r + e^{r x} (x r')$

Passaggio 3.5.2

Riordina i termini.

$e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Passaggio 5

Risolvi per $r'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Passaggio 5.1.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Passaggio 5.1.1.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \sin (r) r' - \frac{1}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Passaggio 5.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Passaggio 5.1.1.2.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Passaggio 5.1.1.2.3

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Passaggio 5.1.1.3

Riordina i fattori in $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori in $e^{r x} r + e^{r x} x r'$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = r e^{r x} + x r' e^{r x}$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini contenenti $r'$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $x r' e^{r x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Passaggio 5.3.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- r' \sin (r) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Passaggio 5.3.3.3

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Passaggio 5.4

Somma $\csc^{2} (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- r' \sin (r) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Passaggio 5.5

Scomponi $r'$ da $- r' \sin (r) - x r' e^{r x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scomponi $r'$ da $- r' \sin (r)$ .

$r' (- 1 \sin (r)) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $r'$ da $- x r' e^{r x}$ .

$r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $r'$ da $r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x})$ .

$r' (- 1 \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Passaggio 5.6

Riscrivi $- 1 \sin (r)$ come $- \sin (r)$ .

$r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Passaggio 5.7

Dividi per $- \sin (r) - x e^{r x}$ ciascun termine in $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Dividi per $- \sin (r) - x e^{r x}$ ciascun termine in $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ .

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Passaggio 5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Elimina il fattore comune di $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Passaggio 5.7.2.1.2

Dividi $r'$ per $1$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Passaggio 5.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1.1.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Passaggio 5.7.3.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Passaggio 5.7.3.1.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Passaggio 5.7.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Passaggio 5.7.3.1.3

Moltiplica $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ per $\frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Passaggio 5.7.3.2

Per scrivere $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Passaggio 5.7.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.3.1

Moltiplica $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ per $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Passaggio 5.7.3.3.2

Riordina i fattori di $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Passaggio 5.7.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Passaggio 5.7.3.5

Scomponi $- 1$ da $- \sin (r)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - x e^{r x})}$

Passaggio 5.7.3.6

Scomponi $- 1$ da $- x e^{r x}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - (x e^{r x}))}$

Passaggio 5.7.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (\sin (r)) - (x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Passaggio 5.7.3.8

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.8.1

Riscrivi $- (\sin (r) + x e^{r x})$ come $- 1 (\sin (r) + x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- 1 (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Passaggio 5.7.3.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r' = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$

Passaggio 6

Sostituisci $r'$ con $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$