Calcolo Esempi

$r = (2 {(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1

Riscrivi il lato destro con esponenti razionali.

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Passaggio 1.1

Rimuovi le parentesi.

$r = 2 {(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = 2 {\tan (2 x - 1)}^{3 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.2

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$r = 2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $r$ rispetto a $x$ è $r'$ .

$r'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [{\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = \tan (2 x - 1)$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (2 x - 1)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (2 x - 1)$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Passaggio 4.7

$\frac{3}{2}$ e ${\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

Passaggio 4.8

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Passaggio 4.9

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Passaggio 4.10

Scomponi $2$ da $6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Passaggio 4.11

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.11.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Passaggio 4.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Passaggio 4.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Passaggio 4.11.4

Dividi $3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

Passaggio 4.12

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Passaggio 4.12.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x - 1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Passaggio 4.12.2

La derivata di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec^{2} (u_{2})$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Passaggio 4.12.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x - 1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Passaggio 4.13

Differenzia.

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Passaggio 4.13.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.13.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.13.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.13.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.13.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 + 0)$

Passaggio 4.13.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.13.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) \cdot 2$

Passaggio 4.13.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$r' = 6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

Passaggio 6

Sostituisci $r'$ con $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = 6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$