Calcolo Esempi

$r = M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d M} (r) = \frac{d}{d M} (M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}))$

Passaggio 2

La derivata di $r$ rispetto a $M$ è $r'$ .

$r'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d M} [f (M) g (M)]$ è $f (M) \frac{d}{d M} [g (M)] + g (M) \frac{d}{d M} [f (M)]$ dove $f (M) = M^{2}$ e $g (M) = \frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [\frac{c}{2} - \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ rispetto a $M$ è $\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} (\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $\frac{c}{2}$ è costante rispetto a $M$ , la derivata di $\frac{c}{2}$ rispetto a $M$ è $0$ .

$M^{2} (0 + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $M$ , la derivata di $- \frac{M}{3}$ rispetto a $M$ è $- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]$ .

$M^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Passaggio 3.2.5

$M^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \frac{d}{d M} [M] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ è $n M^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \cdot 1 + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Passaggio 3.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ è $n M^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) (2 M)$

Passaggio 3.2.9

Sposta $2$ alla sinistra di $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + 2 \cdot (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$

Passaggio 3.3

Combina $- \frac{M^{2}}{3}$ e $2 (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$ utilizzando un comune denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Riordina $- \frac{M^{2}}{3}$ e $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ .

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - \frac{M^{2}}{3}$

Passaggio 3.3.2

Per scrivere $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

Passaggio 3.3.3

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

Passaggio 3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3 - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 M (- \frac{M}{3}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.5.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{M}{3}$ nel numeratore.

$\frac{6 M \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.1.1.2

Scomponi $3$ da $6 M$ .

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 M (- M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 M \cdot M + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.1.3

Eleva $M$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.1.4

Eleva $M$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M^{1}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 M^{1 + 1} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 M^{2} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.5.2.1.7.1

Scomponi $2$ da $6 M$ .

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 M^{2} + 3 M c - M^{2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $M^{2}$ da $- 2 M^{2}$ .

$\frac{- 3 M^{2} + 3 M c}{3}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $3 M$ da $- 3 M^{2} + 3 M c$ .

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Passaggio 3.5.3.1

Scomponi $3 M$ da $- 3 M^{2}$ .

$\frac{3 M (- M) + 3 M c}{3}$

Passaggio 3.5.3.2

Scomponi $3 M$ da $3 M c$ .

$\frac{3 M (- M) + 3 M (c)}{3}$

Passaggio 3.5.3.3

Scomponi $3 M$ da $3 M (- M) + 3 M (c)$ .

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

Passaggio 3.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

Passaggio 3.5.4.2

Dividi $M (- M + c)$ per $1$ .

$M (- M + c)$

Passaggio 3.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$M (- M) + M c$

Passaggio 3.5.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- M \cdot M + M c$

Passaggio 3.5.7

Moltiplica $M$ per $M$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.7.1

Sposta $M$ .

$- (M \cdot M) + M c$

Passaggio 3.5.7.2

Moltiplica $M$ per $M$ .

$- M^{2} + M c$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$r' = - M^{2} + M c$

Passaggio 5

Sostituisci $r'$ con $\frac{d r}{d M}$ .

$\frac{d r}{d M} = - M^{2} + M c$