Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)]$ .

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Passaggio 3.2.1

$\frac{x^{6}}{6}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6} \ln (x)}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{6} \ln (x)}{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Passaggio 3.2.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Passaggio 3.2.6

$x^{6}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Passaggio 3.2.7

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ e $x$ .

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Passaggio 3.2.7.1

Scomponi $x$ da $x^{6}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Passaggio 3.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Passaggio 3.2.7.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Passaggio 3.2.7.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Passaggio 3.2.7.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Passaggio 3.2.7.2.5

Dividi $x^{5}$ per $1$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- \frac{1}{36}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{6}}{36}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} (6 x^{5})$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - 6 (\frac{1}{36}) x^{5}$

Passaggio 3.3.4

$- 6$ e $\frac{1}{36}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6}{36} x^{5}$

Passaggio 3.3.5

$\frac{- 6}{36}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6 x^{5}}{36}$

Passaggio 3.3.6

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $36$ .

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Passaggio 3.3.6.1

Scomponi $6$ da $- 6 x^{5}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{36}$

Passaggio 3.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.2.1

Scomponi $6$ da $36$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 (6)}$

Passaggio 3.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 6}$

Passaggio 3.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- x^{5}}{6}$

Passaggio 3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{1}{6} (\ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.2.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{\ln (x)}{6} (6 x^{5}) - \frac{x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2.2

$6$ e $\frac{\ln (x)}{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x)}{6} x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2.3

$\frac{6 \ln (x)}{6}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2.4

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 3.4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2.4.2

Dividi $\ln (x) x^{5}$ per $1$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2.5

Per scrivere $\frac{1}{6} x^{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{1}{6} x^{5} \cdot \frac{6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2.6

$\frac{1}{6} x^{5}$ e $\frac{6}{6}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2.8

$\frac{1}{6}$ e $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5}}{6} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2.9

$\frac{x^{5}}{6}$ e $6$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5} \cdot 6}{6} - x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2.10

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 \cdot x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2.11

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 3.4.2.11.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2.11.2

Dividi $x^{5}$ per $1$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{x^{5} - x^{5}}{6}$

Passaggio 3.4.2.12

Sottrai $x^{5}$ da $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{6}$

Passaggio 3.4.2.13

Elimina il fattore comune di $0$ e $6$ .

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Passaggio 3.4.2.13.1

Scomponi $6$ da $0$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 (0)}{6}$

Passaggio 3.4.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.4.2.13.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{1}$

Passaggio 3.4.2.13.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\ln (x) x^{5} + 0$

Passaggio 3.4.2.14

Somma $\ln (x) x^{5}$ e $0$ .

$\ln (x) x^{5}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i fattori di $\ln (x) x^{5}$ .

$x^{5} \ln (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = x^{5} \ln (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{5} \ln (x)$