Calcolo Esempi

$y = \frac{1 - 6 x^{2}}{x^{4} - 6 x^{2} + 5}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 6 x^{2}}{x^{4} - 6 x^{2} + 5})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 - 6 x^{2}$ e $g (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [1 - 6 x^{2}] - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 6 (2 x)) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 6 x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x + 0)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.13

Somma $4 x^{3} - 12 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{4} (- 12 x) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{4} (- 12 x) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 12 x^{4} x - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 12 (x \cdot x^{4}) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 12 (x^{1} x^{4}) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 12 x^{1 + 4} - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{- 12 x^{5} - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{2} x + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 (x \cdot x^{2}) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 (x^{1} x^{2}) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{1 + 2} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{3} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.5

Moltiplica $- 6$ per $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.6

Moltiplica $- 12$ per $5$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.7.2

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 + 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.8

Espandi $(- 1 + 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3} - 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.9.1.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9.1.2

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{2} x^{3} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.9.1.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 (x^{3} x^{2}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9.1.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{3 + 2} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9.1.4.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{5} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9.1.5

Moltiplica $6$ per $4$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{2} x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.9.1.7.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 (x \cdot x^{2})}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.9.1.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 (x^{1} x^{2})}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9.1.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{1 + 2}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9.1.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{3}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9.1.8

Moltiplica $6$ per $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} - 72 x^{3}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.9.2

Sottrai $72 x^{3}$ da $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 76 x^{3} + 12 x + 24 x^{5}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Somma $- 12 x^{5}$ e $24 x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 76 x^{3} + 12 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3

Sottrai $76 x^{3}$ da $72 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 60 x + 12 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.4

Somma $- 60 x$ e $12 x$ .

$\frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$