Calcolo Esempi

$y x + 7 x^{2} y = e^{\ln (3 - 2 x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y x + 7 x^{2} y) = \frac{d}{d x} (e^{\ln (3 - 2 x)})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y x + 7 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y$ e $g (x) = x$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y \cdot 1 + x y' + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y + x y' + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$y + x y' + 7 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$y + x y' + 7 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y + x y' + 7 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y + x y' + 7 (x^{2} y' + y (2 x))$

Passaggio 2.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$y + x y' + 7 (x^{2} y' + 2 y x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + x y' + 7 (x^{2} y') + 7 (2 y x)$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$y + x y' + 7 x^{2} y' + 14 y x$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$x y' + 7 x^{2} y' + 14 x y + y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 3.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' + 7 x^{2} y' + 14 x y + y = - 2$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $14 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + 7 x^{2} y' + y = - 2 - 14 x y$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + 7 x^{2} y' = - 2 - 14 x y - y$

Passaggio 5.2

Scomponi $x y'$ da $x y' + 7 x^{2} y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x y'$ da $x y'$ .

$x y' \cdot 1 + 7 x^{2} y' = - 2 - 14 x y - y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x y'$ da $7 x^{2} y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' (7 x) = - 2 - 14 x y - y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' \cdot 1 + x y' (7 x)$ .

$x y' (1 + 7 x) = - 2 - 14 x y - y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x (1 + 7 x)$ ciascun termine in $x y' (1 + 7 x) = - 2 - 14 x y - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $x (1 + 7 x)$ ciascun termine in $x y' (1 + 7 x) = - 2 - 14 x y - y$ .

$\frac{x y' (1 + 7 x)}{x (1 + 7 x)} = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (1 + 7 x)}{x (1 + 7 x)} = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (1 + 7 x)}{1 + 7 x} = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $1 + 7 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 + 7 x)}{1 + 7 x} = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 y}{1 + 7 x} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y}{1 + 7 x} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y}{1 + 7 x} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{14 y}{1 + 7 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y}{1 + 7 x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (1 + 7 x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{14 y}{1 + 7 x}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y x}{(1 + 7 x) x} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(1 + 7 x) x$ .

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y x}{x (1 + 7 x)} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 - 14 y x}{x (1 + 7 x)} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 - 14 y x - y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.6

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - 14 y x - y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 14 y x$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - (14 y x) - y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - (14 y x)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + 14 y x) - y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.9

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + 14 y x) - (y)}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.10

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2 + 14 y x) - (y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + 14 y x + y)}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 5.3.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 + 14 y x + y}{x (1 + 7 x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 + 14 y x + y}{x (1 + 7 x)}$