Calcolo Esempi

$y = \frac{- 8 e^{2 x}}{7 x - 2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{- 8 e^{2 x}}{7 x - 2})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8 e^{2 x}}{7 x - 2}]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8 e^{2 x}}{7 x - 2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{7 x - 2}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{7 x - 2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = 7 x - 2$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

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Passaggio 3.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $(7 x - 2) e^{2 x}$ .

$- 8 \frac{2 \cdot ((7 x - 2) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $7$ per $1$ .

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (7 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.8

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (7 + 0)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.4.9.1

Somma $7$ e $0$ .

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 7}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.9.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.9.3

$- 8$ e $\frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 8 (2 (7 x - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.9.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 (2 (7 x - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8 ((2 (7 x) + 2 \cdot - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8 (2 (7 x) e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} - 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8 (2 (7 x) e^{2 x}) + 8 (2 \cdot - 2 e^{2 x}) + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.4.1.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$- \frac{8 (14 x e^{2 x}) + 8 (2 \cdot - 2 e^{2 x}) + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.1.2

Moltiplica $14$ per $8$ .

$- \frac{112 (x e^{2 x}) + 8 (2 \cdot - 2 e^{2 x}) + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- \frac{112 x e^{2 x} + 8 (- 4 e^{2 x}) + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.1.4

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$- \frac{112 x e^{2 x} - 32 e^{2 x} + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.1.5

Moltiplica $- 7$ per $8$ .

$- \frac{112 x e^{2 x} - 32 e^{2 x} - 56 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.2

Sottrai $56 e^{2 x}$ da $- 32 e^{2 x}$ .

$- \frac{112 x e^{2 x} - 88 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.5

Scomponi $8 e^{2 x}$ da $112 x e^{2 x} - 88 e^{2 x}$ .

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Passaggio 3.5.5.1

Scomponi $8 e^{2 x}$ da $112 x e^{2 x}$ .

$- \frac{8 e^{2 x} (14 x) - 88 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.5.2

Scomponi $8 e^{2 x}$ da $- 88 e^{2 x}$ .

$- \frac{8 e^{2 x} (14 x) + 8 e^{2 x} (- 11)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.5.3

Scomponi $8 e^{2 x}$ da $8 e^{2 x} (14 x) + 8 e^{2 x} (- 11)$ .

$- \frac{8 e^{2 x} (14 x - 11)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{8 e^{2 x} (14 x - 11)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 e^{2 x} (14 x - 11)}{{(7 x - 2)}^{2}}$