Calcolo Esempi

$y = {(a x + b)}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d b} (y) = \frac{d}{d b} ({(a x + b)}^{2})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $b$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Riscrivi ${(a x + b)}^{2}$ come $(a x + b) (a x + b)$ .

$\frac{d}{d b} [(a x + b) (a x + b)]$

Passaggio 3.2

Espandi $(a x + b) (a x + b)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d b} [a x (a x + b) + b (a x + b)]$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d b} [a x (a x) + a x b + b (a x + b)]$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d b} [a x (a x) + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Passaggio 3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Sposta $a$ .

$\frac{d}{d b} [a \cdot a x \cdot x + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Passaggio 3.3.1.1.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x \cdot x + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} (x \cdot x) + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + a x b + b (a x) + b \cdot b]$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $b$ per $b$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + a x b + b a x + b^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Riordina $b$ e $a$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + a b x + a b x + b^{2}]$

Passaggio 3.3.3

Somma $a b x$ e $a b x$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2}]$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2}$ rispetto a $b$ è $\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$ .

$\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Passaggio 3.5

Poiché $a^{2} x^{2}$ è costante rispetto a $b$ , la derivata di $a^{2} x^{2}$ rispetto a $b$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Passaggio 3.6

Somma $0$ e $\frac{d}{d b} [2 a b x]$ .

$\frac{d}{d b} [2 a b x] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Passaggio 3.7

Poiché $2 a x$ è costante rispetto a $b$ , la derivata di $2 a b x$ rispetto a $b$ è $2 a x \frac{d}{d b} [b]$ .

$2 a x \frac{d}{d b} [b] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ è $n b^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 a x \cdot 1 + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Passaggio 3.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 a x + \frac{d}{d b} [b^{2}]$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ è $n b^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 a x + 2 b$

Passaggio 3.11

Riordina i termini.

$2 b + 2 a x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 2 b + 2 a x$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d b}$ .

$\frac{d y}{d b} = 2 b + 2 a x$