Calcolo Esempi

$e^{x - y} = \ln (x - y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{x - y}) = \frac{d}{d x} (\ln (x - y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - y$ .

$\frac{1}{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{1}{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{x - y} (1 - y')$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x - y} (1 - y')$ .

$(1 - y') \frac{1}{x - y}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $1 - y'$ per $\frac{1}{x - y}$ .

$\frac{1 - y'}{x - y}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$e^{x - y} (1 - y') = \frac{1 - y'}{x - y}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $x - y$ .

$e^{x - y} (1 - y') (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $e^{x - y} (1 - y') (x - y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')) (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.2.1

Moltiplica $e^{x - y}$ per $1$ .

$(e^{x - y} + e^{x - y} (- y')) (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2.1.1.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(e^{x - y} - e^{x - y} y') (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Espandi $(e^{x - y} - e^{x - y} y') (x - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x - y} (x - y) - e^{x - y} y' (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x - y} x + e^{x - y} (- y) - e^{x - y} y' (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2.1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x - y} x + e^{x - y} (- y) - e^{x - y} y' x - e^{x - y} y' (- y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2.1.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x - e^{x - y} y' (- y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2.1.1.3.1.2

Moltiplica $- e^{x - y} y' (- y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.3.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + 1 e^{x - y} y' y = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2.1.1.3.1.2.2

Moltiplica $e^{x - y}$ per $1$ .

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + e^{x - y} y' y = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2.1.1.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.3.2.1

Riordina i fattori in $e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + e^{x - y} y' y$ .

$x e^{x - y} - y e^{x - y} - y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2.1.1.3.2.2

Sposta $- y e^{x - y}$ .

$x e^{x - y} - y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2.1.1.3.2.3

Sposta $x e^{x - y}$ .

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $\frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = 1 - y'$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riordina $1$ e $- y'$ .

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = - y' + 1$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Somma $y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} + y' = 1$

Passaggio 5.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $x e^{x - y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} - y e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y}$

Passaggio 5.3.2.2

Somma $y e^{x - y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $y'$ da $- y' x e^{x - y}$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y) e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $y'$ da $y' y e^{x - y}$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Passaggio 5.3.3.3

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' \cdot 1 = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $y'$ da $y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y})$ .

$y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y}) + y' \cdot 1 = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Passaggio 5.3.3.6

Scomponi $y'$ da $y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Passaggio 5.3.5

Dividi per $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ ciascun termine in $y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Dividi per $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ ciascun termine in $y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$ .

$\frac{y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1)}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{- x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Passaggio 5.3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{- x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Passaggio 5.3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} - \frac{x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Passaggio 5.3.5.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Passaggio 5.3.5.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Passaggio 5.3.5.3.4

Scomponi $- 1$ da $- x e^{x - y}$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y}) + y e^{x - y} + 1}$

Passaggio 5.3.5.3.5

Scomponi $- 1$ da $y e^{x - y}$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y}) - (- y e^{x - y}) + 1}$

Passaggio 5.3.5.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (x e^{x - y}) - (- y e^{x - y})$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) + 1}$

Passaggio 5.3.5.3.7

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) - 1 (- 1)}$

Passaggio 5.3.5.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)}$

Passaggio 5.3.5.3.9

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.9.1

Riscrivi $- (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)$ come $- 1 (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- 1 (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)}$

Passaggio 5.3.5.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1}$