Calcolo Esempi

$2 x^{2} + 6 \ln (x y) = 15$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 6 \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 6 \ln (x y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \ln (x y)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y))$

Passaggio 2.3.7

$\frac{1}{x y}$ e $6$ .

$4 x + \frac{6}{x y} (x y' + y)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + \frac{6}{x y} (x y') + \frac{6}{x y} y$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$x$ e $\frac{6}{x y}$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6}{x y} y' + \frac{6}{x y} y$

Passaggio 2.4.2.2

$\frac{x \cdot 6}{x y}$ e $y'$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6 y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Passaggio 2.4.2.3

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$4 x + \frac{6 \cdot x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Passaggio 2.4.2.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 x + \frac{6 x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Passaggio 2.4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x y} y$

Passaggio 2.4.2.5

$\frac{6}{x y}$ e $y$ .

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

Passaggio 2.4.2.6

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

Passaggio 2.4.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x}$

Passaggio 3

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = - 4 x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $\frac{6}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{6 y'}{y} = - 4 x - \frac{6}{x}$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Passaggio 5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$6 y' = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica $(- 4 x - \frac{6}{x}) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 y' = - 4 x y - \frac{6}{x} y$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

$y$ e $\frac{6}{x}$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{y \cdot 6}{x}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Sposta $6$ alla sinistra di $y$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$

Passaggio 5.4

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ .

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 4 x y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 (3)} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 \cdot 3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{6 y}{x}$ nel numeratore.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- 6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Passaggio 5.4.3.1.4.2

Scomponi $6$ da $- 6 y$ .

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Passaggio 5.4.3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Passaggio 5.4.3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 5.4.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$