Calcolo Esempi

$y = 5 t {(2 t + 3)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (5 t {(2 t + 3)}^{3})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $t$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t {(2 t + 3)}^{3}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(2 t + 3)}^{3}$ .

$5 (t \frac{d}{d t} [{(2 t + 3)}^{3}] + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 2 t + 3$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 t + 3$ .

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t + 3$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4

Differenzia.

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Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t + 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + 0)) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \cdot 2) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica ${(2 t + 3)}^{3}$ per $1$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3})$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $6$ per $5$ .

$30 (t ({(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $5 {(2 t + 3)}^{2}$ da $30 t {(2 t + 3)}^{2} + 5 {(2 t + 3)}^{3}$ .

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Passaggio 3.5.3.1

Scomponi $5 {(2 t + 3)}^{2}$ da $30 t {(2 t + 3)}^{2}$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

Passaggio 3.5.3.2

Scomponi $5 {(2 t + 3)}^{2}$ da $5 {(2 t + 3)}^{3}$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$

Passaggio 3.5.3.3

Scomponi $5 {(2 t + 3)}^{2}$ da $5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t + 2 t + 3)$

Passaggio 3.5.4

Somma $6 t$ e $2 t$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.5

Riscrivi ${(2 t + 3)}^{2}$ come $(2 t + 3) (2 t + 3)$ .

$5 ((2 t + 3) (2 t + 3)) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.6

Espandi $(2 t + 3) (2 t + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (2 t (2 t + 3) + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.7.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.7.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.7.1.2.1

Sposta $t$ .

$5 (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.7.1.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$5 (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.7.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$5 (4 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.7.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.7.1.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.7.1.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 9) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.7.2

Somma $6 t$ e $6 t$ .

$5 (4 t^{2} + 12 t + 9) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$(5 (4 t^{2}) + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.9

Semplifica.

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Passaggio 3.5.9.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$(20 t^{2} + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.9.2

Moltiplica $12$ per $5$ .

$(20 t^{2} + 60 t + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.9.3

Moltiplica $5$ per $9$ .

$(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$

Passaggio 3.5.10

Espandi $(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$20 t^{2} (8 t) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.11.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$20 \cdot 8 t^{2} t + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.11.2.1

Sposta $t$ .

$20 \cdot 8 (t \cdot t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11.2.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

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Passaggio 3.5.11.2.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$20 \cdot 8 (t^{1} t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 \cdot 8 t^{1 + 2} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$20 \cdot 8 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11.3

Moltiplica $20$ per $8$ .

$160 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11.4

Moltiplica $3$ per $20$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t \cdot t + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11.6

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.11.6.1

Sposta $t$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 (t \cdot t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11.6.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11.7

Moltiplica $60$ per $8$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11.8

Moltiplica $3$ per $60$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11.9

Moltiplica $8$ per $45$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 45 \cdot 3$

Passaggio 3.5.11.10

Moltiplica $45$ per $3$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

Passaggio 3.5.12

Somma $60 t^{2}$ e $480 t^{2}$ .

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

Passaggio 3.5.13

Somma $180 t$ e $360 t$ .

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$