Calcolo Esempi

$4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y = 2 x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (y^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.4

$2$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{2}{y^{2}} (y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.5

$y$ e $\frac{2}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2}{y^{2}} y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.6

$\frac{y \cdot 2}{y^{2}}$ e $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2 y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$12 x^{2} + \frac{2 \cdot y y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.8

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Scomponi $y$ da $2 y y'$ .

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, y, 1, 1$

Passaggio 5.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ per $y$ .

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$12 x^{2} y + 2 y' + 2 y' y = 2 y$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $12 x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $2 y'$ da $2 y' + 2 y' y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $2 y'$ da $2 y'$ .

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $2 y'$ da $2 y' y$ .

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y' \cdot 1 + 2 y' y$ .

$2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $2 (1 + y)$ ciascun termine in $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $2 (1 + y)$ ciascun termine in $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ .

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $1 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 12 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 6 x^{2} y}{1 + y}$

Passaggio 5.3.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y}{1 + y} - \frac{6 x^{2} y}{1 + y}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Passaggio 5.3.3.3.2.2

Scomponi $y$ da $y - 6 x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Passaggio 5.3.3.3.2.2.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Passaggio 5.3.3.3.2.2.3

Scomponi $y$ da $- 6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})}{1 + y}$

Passaggio 5.3.3.3.2.2.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$