Calcolo Esempi

Trovare la Concavità (x^5)/20+(x^4)/6-(x^3)/2
Passaggio 1
Scrivi come funzione.
Passaggio 2
Find the values where the second derivative is equal to .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Trova la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.1.2.3
e .
Passaggio 2.1.1.2.4
e .
Passaggio 2.1.1.2.5
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.2.5.1
Scomponi da .
Passaggio 2.1.1.2.5.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.2.5.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.1.1.2.5.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.1.1.2.5.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.1.1.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.1.3.3
e .
Passaggio 2.1.1.3.4
e .
Passaggio 2.1.1.3.5
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.3.5.1
Scomponi da .
Passaggio 2.1.1.3.5.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.3.5.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.1.1.3.5.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.1.1.3.5.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.1.1.4
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.4.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.1.4.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.1.4.4
e .
Passaggio 2.1.1.4.5
e .
Passaggio 2.1.1.4.6
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 2.1.2
Trova la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.2.2.3
e .
Passaggio 2.1.2.2.4
e .
Passaggio 2.1.2.2.5
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.2.5.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.1.2.2.5.2
Dividi per .
Passaggio 2.1.2.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.2.3.3
e .
Passaggio 2.1.2.3.4
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.2.3.5
e .
Passaggio 2.1.2.3.6
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.3.6.1
Scomponi da .
Passaggio 2.1.2.3.6.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.3.6.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.1.2.3.6.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.1.2.3.6.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.1.2.3.6.2.4
Dividi per .
Passaggio 2.1.2.4
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.4.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.2.4.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.2.4.4
e .
Passaggio 2.1.2.4.5
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.2.4.6
e .
Passaggio 2.1.2.4.7
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.4.7.1
Scomponi da .
Passaggio 2.1.2.4.7.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.4.7.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.1.2.4.7.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.1.2.4.7.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.1.2.4.7.2.4
Dividi per .
Passaggio 2.1.3
La derivata seconda di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Imposta la derivata seconda pari a , quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Imposta la derivata seconda uguale a .
Passaggio 2.2.2
Scomponi il primo membro dell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.2.1
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.2.1.1
Scomponi da .
Passaggio 2.2.2.1.2
Scomponi da .
Passaggio 2.2.2.1.3
Scomponi da .
Passaggio 2.2.2.1.4
Scomponi da .
Passaggio 2.2.2.1.5
Scomponi da .
Passaggio 2.2.2.2
Scomponi.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.2.2.1
Scomponi usando il metodo AC.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.2.2.1.1
Considera la forma . Trova una coppia di interi il cui prodotto è e la cui formula è . In questo caso, il cui prodotto è e la cui somma è .
Passaggio 2.2.2.2.1.2
Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.
Passaggio 2.2.2.2.2
Rimuovi le parentesi non necessarie.
Passaggio 2.2.3
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 2.2.4
Imposta uguale a .
Passaggio 2.2.5
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.5.1
Imposta uguale a .
Passaggio 2.2.5.2
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 2.2.6
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.6.1
Imposta uguale a .
Passaggio 2.2.6.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 2.2.7
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 3
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Passaggio 4
Crea intervalli attorno ai valori di per cui la derivata seconda è zero o indefinita.
Passaggio 5
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 5.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.2
Semplifica aggiungendo i numeri.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.2.1
Somma e .
Passaggio 5.2.2.2
Somma e .
Passaggio 5.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 5.3
Il grafico è una funzione concava sull'intervallo perché è negativo.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione concava su poiché è negativo
Passaggio 6
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 6.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.2
Semplifica aggiungendo i numeri.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.2.1
Somma e .
Passaggio 6.2.2.2
Somma e .
Passaggio 6.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 6.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 7
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 7.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 7.2.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 7.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 7.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 7.2.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.2.1
Somma e .
Passaggio 7.2.2.2
Sottrai da .
Passaggio 7.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 7.3
Il grafico è una funzione concava sull'intervallo perché è negativo.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione concava su poiché è negativo
Passaggio 8
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 8.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.2.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 8.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 8.2.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 8.2.2.1
Somma e .
Passaggio 8.2.2.2
Sottrai da .
Passaggio 8.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 8.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 9
Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 10