Calcolo Esempi

$\ln (y) = 7 x \ln (\sqrt{x})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = 7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (7 x \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$7 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$7 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.5

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$7 (x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.6.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$7 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$7 (x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$7 (x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$7 (x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.13

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.14

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.15

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.15.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.15.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$7 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.15.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$7 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.15.4

Dividi $0$ per $2$ .

$7 (\frac{x^{0}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.16

Semplifica $x^{0}$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.17

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

Passaggio 4.18

Moltiplica $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ per $1$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 4.19

Semplifica.

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Passaggio 4.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 (\frac{1}{2}) + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.19.2

$7$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.19.3

Riordina i termini.

$7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{y'}{y} = 7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 6.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Passaggio 6.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $(7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$ .

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Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.2.1.1.1

Semplifica $7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ spostando $7$ all'interno del logaritmo.

$y' = (\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{7}) + \frac{7}{2}) y$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{7}$ .

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Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 7}) + \frac{7}{2}) y$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

$\frac{1}{2}$ e $7$ .

$y' = (\ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Passaggio 6.2.2.1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.2.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7}{2} y$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

$\frac{7}{2}$ e $y$ .

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$

Passaggio 6.2.2.1.2.3

Riordina i fattori in $\ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$ .

$y' = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$