Calcolo Esempi

$x = \frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{1}{27}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{y^{3}}{27}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{27} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.2.4

$3$ e $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3}{27} (y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.2.5

$y^{2}$ e $\frac{3}{27}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3}{27} y' + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.2.6

$\frac{y^{2} \cdot 3}{27}$ e $y'$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.2.7

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\frac{3 \cdot y^{2} y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.2.8

Elimina il fattore comune di $3$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Scomponi $3$ da $3 y^{2} y'$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.2.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $\frac{9}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9}{4 y}$ rispetto a $x$ è $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = y$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $y$ per $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Passaggio 3.3.7

Sottrai $y'$ da $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{- y'}{y^{2}}$

Passaggio 3.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} (- \frac{y'}{y^{2}})$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = \frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$9, 4 y^{2}, 1$

Passaggio 5.2.2

Since $9, 4 y^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 4, 1$ then find LCM for the variable part $y^{2}$ .

Passaggio 5.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.2.4

$9$ presenta fattori di $3$ e $3$ .

$3 \cdot 3$

Passaggio 5.2.5

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Passaggio 5.2.6

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.2.7

Il minimo comune multiplo di $9, 4, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 3 \cdot 3$

Passaggio 5.2.8.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 \cdot 3$

Passaggio 5.2.8.3

Moltiplica $12$ per $3$ .

$36$

Passaggio 5.2.9

I fattori di $y^{2}$ sono $y \cdot y$ , che corrisponde a $y$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 5.2.10

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y \cdot y$

Passaggio 5.2.11

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2}$

Passaggio 5.2.12

Il minimo comune multiplo di $9, 4 y^{2}, 1$ è la parte numerica $36$ moltiplicata per la parte variabile.

$36 y^{2}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $36 y^{2}$ ciascun termine in $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ per $36 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} (36 y^{2}) - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$36 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Scomponi $9$ da $36$ .

$9 (4) \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$9 \cdot 4 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (y^{2} y') y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.3

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Sposta $y^{2}$ .

$4 (y^{2} y^{2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (y^{2 + 2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.3.3

Somma $2$ e $2$ .

$4 (y^{4} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{9 y'}{4 y^{2}}$ nel numeratore.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.4.2

Scomponi $4 y^{2}$ da $36 y^{2}$ .

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} (9)) = 1 (36 y^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} \cdot 9) = 1 (36 y^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$4 y^{4} y' - 9 y' \cdot 9 = 1 (36 y^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.5

Moltiplica $9$ per $- 9$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 1 (36 y^{2})$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $36 y^{2}$ per $1$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 36 y^{2}$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $4 y^{4} y' - 81 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Scomponi $y'$ da $4 y^{4} y'$ .

$y' (4 y^{4}) - 81 y' = 36 y^{2}$

Passaggio 5.4.1.2

Scomponi $y'$ da $- 81 y'$ .

$y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81 = 36 y^{2}$

Passaggio 5.4.1.3

Scomponi $y'$ da $y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81$ .

$y' (4 y^{4} - 81) = 36 y^{2}$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi $4 y^{4}$ come ${(2 y^{2})}^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 81) = 36 y^{2}$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 9^{2}) = 36 y^{2}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 y^{2}$ e $b = 9$ .

$y' ((2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)) = 36 y^{2}$

Passaggio 5.4.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$

Passaggio 5.4.5

Dividi per $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ ciascun termine in $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Dividi per $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ ciascun termine in $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ .

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Passaggio 5.4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y^{2} + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Passaggio 5.4.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Passaggio 5.4.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2 y^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Passaggio 5.4.5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$