Calcolo Esempi

$x = 2 \ln (y^{2} - 3)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (y^{2} - 3))$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \ln (y^{2} - 3)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\ln (y^{2} - 3)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (y^{2} - 3)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y^{2} - 3$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y^{2} - 3$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y^{2} - 3$ .

$2 (\frac{1}{y^{2} - 3} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della somma.

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Passaggio 3.3.1

$\frac{1}{y^{2} - 3}$ e $2$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3]$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 3.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y' + 0)$

Passaggio 3.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.7.1

Somma $2 y y'$ e $0$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y')$

Passaggio 3.7.2

$2$ e $\frac{2}{y^{2} - 3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{y^{2} - 3} (y y')$

Passaggio 3.7.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{y^{2} - 3} (y y')$

Passaggio 3.7.4

$y$ e $\frac{4}{y^{2} - 3}$ .

$\frac{y \cdot 4}{y^{2} - 3} y'$

Passaggio 3.7.5

$\frac{y \cdot 4}{y^{2} - 3}$ e $y'$ .

$\frac{y \cdot 4 y'}{y^{2} - 3}$

Passaggio 3.7.6

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = \frac{4 y y'}{y^{2} - 3}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} = 1$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} = 1$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $y^{2} - 3$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} (y^{2} - 3) = 1 (y^{2} - 3)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} (y^{2} - 3) = 1 (y^{2} - 3)$

Passaggio 5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 y y' = 1 (y^{2} - 3)$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $y^{2} - 3$ per $1$ .

$4 y y' = y^{2} - 3$

Passaggio 5.4

Dividi per $4 y$ ciascun termine in $4 y y' = y^{2} - 3$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $4 y$ ciascun termine in $4 y y' = y^{2} - 3$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

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Passaggio 5.4.3.1.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.4.3.1.1.2.1

Scomponi $y$ da $4 y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 4} + \frac{- 3}{4 y}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 4} + \frac{- 3}{4 y}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y}{4} + \frac{- 3}{4 y}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y}{4} - \frac{3}{4 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4} - \frac{3}{4 y}$