Calcolo Esempi

$e^{2 x y} + 2 x y = 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{2 x y} + 2 x y) = \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 x y} + 2 x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{2 x y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x y$ .

$e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$e^{2 x y} (2 \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$e^{2 x y} (2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{2 x y} (2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 x y} (2 (x y' + y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$e^{2 x y} (2 (x y' + y)) + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$e^{2 x y} (2 (x y' + y)) + 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$e^{2 x y} (2 (x y' + y)) + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{2 x y} (2 (x y' + y)) + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 x y} (2 (x y' + y)) + 2 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$e^{2 x y} (2 (x y' + y)) + 2 (x y' + y)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 x y} (2 (x y') + 2 y) + 2 (x y' + y)$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 x y} (2 (x y')) + e^{2 x y} (2 y) + 2 (x y' + y)$

Passaggio 2.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 x y} (2 (x y')) + e^{2 x y} (2 y) + 2 (x y') + 2 y$

Passaggio 2.4.4

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$e^{2 x y} (2 x y') + e^{2 x y} (2 y) + 2 x y' + 2 y$

Passaggio 2.4.5

Riordina i termini.

$2 e^{2 x y} x y' + 2 e^{2 x y} y + 2 x y' + 2 y$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 e^{2 x y} x y' + 2 e^{2 x y} y + 2 x y' + 2 y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $2 e^{2 x y} x y' + 2 e^{2 x y} y + 2 x y' + 2 y$ .

$2 x y' e^{2 x y} + 2 y e^{2 x y} + 2 x y' + 2 y = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $2 y e^{2 x y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y' e^{2 x y} + 2 x y' + 2 y = - 2 y e^{2 x y}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y' e^{2 x y} + 2 x y' = - 2 y e^{2 x y} - 2 y$

Passaggio 5.3

Scomponi $2 x y'$ da $2 x y' e^{2 x y} + 2 x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $2 x y'$ da $2 x y' e^{2 x y}$ .

$2 x y' e^{2 x y} + 2 x y' = - 2 y e^{2 x y} - 2 y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $2 x y'$ da $2 x y'$ .

$2 x y' e^{2 x y} + 2 x y' \cdot 1 = - 2 y e^{2 x y} - 2 y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $2 x y'$ da $2 x y' e^{2 x y} + 2 x y' \cdot 1$ .

$2 x y' (e^{2 x y} + 1) = - 2 y e^{2 x y} - 2 y$

Passaggio 5.4

Dividi per $2 x (e^{2 x y} + 1)$ ciascun termine in $2 x y' (e^{2 x y} + 1) = - 2 y e^{2 x y} - 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $2 x (e^{2 x y} + 1)$ ciascun termine in $2 x y' (e^{2 x y} + 1) = - 2 y e^{2 x y} - 2 y$ .

$\frac{2 x y' (e^{2 x y} + 1)}{2 x (e^{2 x y} + 1)} = \frac{- 2 y e^{2 x y}}{2 x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x y' (e^{2 x y} + 1)}{2 x (e^{2 x y} + 1)} = \frac{- 2 y e^{2 x y}}{2 x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y' (e^{2 x y} + 1)}{x (e^{2 x y} + 1)} = \frac{- 2 y e^{2 x y}}{2 x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (e^{2 x y} + 1)}{x (e^{2 x y} + 1)} = \frac{- 2 y e^{2 x y}}{2 x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (e^{2 x y} + 1)}{e^{2 x y} + 1} = \frac{- 2 y e^{2 x y}}{2 x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.2.3

Elimina il fattore comune di $e^{2 x y} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (e^{2 x y} + 1)}{e^{2 x y} + 1} = \frac{- 2 y e^{2 x y}}{2 x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y e^{2 x y}}{2 x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 y e^{2 x y}$ .

$y' = \frac{2 (- y e^{2 x y})}{2 x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x (e^{2 x y} + 1)$ .

$y' = \frac{2 (- y e^{2 x y})}{2 (x (e^{2 x y} + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- y e^{2 x y})}{2 (x (e^{2 x y} + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y e^{2 x y}}{x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y e^{2 x y}}{x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$y' = - \frac{y e^{2 x y}}{x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{2 (- y)}{2 x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 x (e^{2 x y} + 1)$ .

$y' = - \frac{y e^{2 x y}}{x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{2 (- y)}{2 (x (e^{2 x y} + 1))}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y e^{2 x y}}{x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{2 (- y)}{2 (x (e^{2 x y} + 1))}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y e^{2 x y}}{x (e^{2 x y} + 1)} + \frac{- y}{x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y e^{2 x y}}{x (e^{2 x y} + 1)} - \frac{y}{x (e^{2 x y} + 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y e^{2 x y}}{x (e^{2 x y} + 1)} - \frac{y}{x (e^{2 x y} + 1)}$