Calcolo Esempi

${(x^{2} - y^{2})}^{3} = 3 a^{4} x^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d a} ({(x^{2} - y^{2})}^{3}) = \frac{d}{d a} (3 a^{4} x^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Usa il teorema binomiale.

$\frac{d}{d a} [{(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 \cdot - 1 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{2 \cdot 2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $- y^{2}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} ({(- 1)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + {(- y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.8

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.9

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.9.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{2 \cdot 2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.10

Applica la regola del prodotto a $- y^{2}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- 1)}^{3} {(y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.11

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - {(y^{2})}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.12

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{3}$ .

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Passaggio 2.2.1.12.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{2 \cdot 3}]$

Passaggio 2.2.1.12.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}]$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}$ rispetto a $a$ è $\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.2.3

Poiché $x^{6}$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $x^{6}$ rispetto a $a$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 3 x^{4}$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $- 3 x^{4} y^{2}$ rispetto a $a$ è $- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}]$ .

$- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ è $f' (g (a)) g' (a)$ dove $f (a) = a^{2}$ e $g (a) = y$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$- 3 x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{4} (2 u_{1} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$- 3 x^{4} (2 y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- 6 x^{4} (y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\frac{d}{d a} [y]$ come $y'$ .

$- 6 x^{4} y y' + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.6

Poiché $3 x^{2}$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $3 x^{2} y^{4}$ rispetto a $a$ è $3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}]$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ è $f' (g (a)) g' (a)$ dove $f (a) = a^{4}$ e $g (a) = y$ .

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Passaggio 2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $4$ per $3$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} (y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.9

Riscrivi $\frac{d}{d a} [y]$ come $y'$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Passaggio 2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $- y^{6}$ rispetto a $a$ è $- \frac{d}{d a} [y^{6}]$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - \frac{d}{d a} [y^{6}]$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ è $f' (g (a)) g' (a)$ dove $f (a) = a^{6}$ e $g (a) = y$ .

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Passaggio 2.11.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{6}] \frac{d}{d a} [y])$

Passaggio 2.11.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 {u_{3}}^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Passaggio 2.11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Passaggio 2.12

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 (y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Passaggio 2.13

Riscrivi $\frac{d}{d a} [y]$ come $y'$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 y^{5} y'$

Passaggio 2.14

Riordina i termini.

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $3 x^{2}$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $3 a^{4} x^{2}$ rispetto a $a$ è $3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 x^{2} (4 a^{3})$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{2} a^{3}$

Passaggio 3.3.2

Riordina i fattori di $12 x^{2} a^{3}$ .

$12 a^{3} x^{2}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y' = 12 a^{3} x^{2}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d a}$ .

$\frac{d y}{d a} = 12 a^{3} x^{2}$