Calcolo Esempi

$\sqrt{y} = 2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}})$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.8

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.9

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Passaggio 3.10

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{4} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{4} y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

$2 (x^{4} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (x^{4} y' + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 4.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 (x^{4} y' + y (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 4.2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 4.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Passaggio 4.3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 4.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 4.3.10

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) - 10 x^{- 3}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x^{4} y') + 2 (4 y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 4.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$2 x^{4} y' + 8 (y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 4.4.3.2

$- 10$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$2 x^{4} y' + 8 y x^{3} + \frac{- 10}{x^{3}}$

Passaggio 4.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x^{4} y' + 8 y x^{3} - \frac{10}{x^{3}}$

Passaggio 4.4.4

Riordina i termini.

$2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica ogni lato per $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $(2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = 2 x^{4} y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 8 x^{3} y (2 y^{\frac{1}{2}}) - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y (2 y^{\frac{1}{2}}) - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.2.1

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} (y^{\frac{1}{2}} y) \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2.2

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1}{2} + 1} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1 + 2}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2.5

Somma $1$ e $2$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.2.3

Moltiplica $- \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 2 \frac{10}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.2.3.2

$- 2$ e $\frac{10}{x^{3}}$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 2 \cdot 10}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.2.3.3

Moltiplica $- 2$ per $10$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 20}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.2.3.4

$\frac{- 20}{x^{3}}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} + \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Sposta $x^{4}$ .

$y' = 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 6.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sottrai $4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.2

Trova un fattore comune $y^{\frac{1}{2}}$ che è presente in ciascun termine.

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x y^{\frac{1}{2}})}^{9} - 16 {(x y^{\frac{1}{2}})}^{9} + \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.3

Sostituisci $y^{\frac{1}{2}}$ per $u$ .

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x u)}^{9} - 16 {(x (u))}^{9} + \frac{20 (u)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 6.3.4

Sostituisci $u$ per $y'$ .

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x y^{\frac{1}{2}})}^{9} - 16 {(x (y^{\frac{1}{2}}))}^{9} + \frac{20 (y^{\frac{1}{2}})}{x^{3}} = 0$

Passaggio 6.3.5

Scomponi $y'$ da $y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.1

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.5.2

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.5.3

Scomponi $y'$ da $- 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.5.4

Scomponi $y'$ da $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.6

Dividi per $1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.1

Dividi per $1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ .

$\frac{y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.3.6.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.6.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.3.2.1

Moltiplica $\frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$y' = \frac{x^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.6.3.2.2

Combina.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}})}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} (- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}})}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.4

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ nel numeratore.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.3.5.1

Scomponi $4 y^{\frac{1}{2}}$ da $x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.3.5.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.3.5.1.1.1

Sposta le parentesi.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3}) y^{\frac{3}{2}} - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.5.1.1.2

Riordina $x^{3}$ e $16$ .

$y' = \frac{16 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{3}{2}} - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.5.1.2

Scomponi $4 y^{\frac{1}{2}}$ da $16 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.5.1.3

Scomponi $4 y^{\frac{1}{2}}$ da $- 20 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) + 4 y^{\frac{1}{2}} (- 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.5.1.4

Scomponi $4 y^{\frac{1}{2}}$ da $4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) + 4 y^{\frac{1}{2}} (- 5)$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.5.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.3.5.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot (x^{3} x^{3}) y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3 + 3} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.5.2.3

Somma $3$ e $3$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{6} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.3.5.3.1

Dividi $2$ per $2$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y^{1} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.5.3.2

Semplifica.

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.6

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.3.6.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} \cdot 1$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1) + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.6.3.6.2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} (1) + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$