Calcolo Esempi

x^{3} - y^{3} = 7

$x^{3} - y^{3} = 7$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

x^{3} - y^{3}

$x^{3} - y^{3}$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola

\frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- y^{3}

$- y^{3}$ rispetto a

x

$x$ è

- \frac{d}{d x} [y^{3}]

$- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = x^{3}$ e

$g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è

$n u^{n - 1}$ dove

$n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi

$\frac{d}{d x} [y]$ come

$y'$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica

$3$ per

$- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Passaggio 3

Poiché

$7$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$7$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per

$y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai

$3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.2

Dividi per

$- 3 y^{2}$ ciascun termine in

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per

$- 3 y^{2}$ ciascun termine in

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di

$y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi

$y'$ per

$1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di

$- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci

$y'$ con

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$