Calcolo Esempi

$3 x + \ln (y) = x^{2} y^{5}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (3 x + \ln (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{5})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + \ln (y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$3 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 + \frac{1}{y} y'$

Passaggio 2.3.3

$\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$3 + \frac{y'}{y}$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$\frac{y'}{y} + 3$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$5 \cdot x^{2} y^{4} \frac{d}{d x} [y] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x)$

Passaggio 3.6

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{5}$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + 2 \cdot y^{5} x$

Passaggio 3.6.2

Riordina i termini.

$5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{y'}{y} + 3 = 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $5 y^{4} x^{2} y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1, 1, 1$

Passaggio 5.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ per $y$ .

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Passaggio 5.3.2.1.2

Moltiplica $y^{4}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Sposta $y$ .

$y' + 3 y - 5 (y \cdot y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' + 3 y - 5 (y^{1} y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Passaggio 5.3.2.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' + 3 y - 5 y^{1 + 4} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Passaggio 5.3.2.1.2.3

Somma $1$ e $4$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $y^{5}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta $y$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y \cdot y^{5}) x$

Passaggio 5.3.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y^{1} y^{5}) x$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{1 + 5} x$

Passaggio 5.3.3.1.3

Somma $1$ e $5$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $y' - 5 y^{5} x^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

Passaggio 5.4.2.2

Scomponi $y'$ da $- 5 y^{5} x^{2} y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

Passaggio 5.4.2.3

Scomponi $y'$ da $y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2})$ .

$y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

Passaggio 5.4.3

Dividi per $1 - 5 y^{5} x^{2}$ ciascun termine in $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Dividi per $1 - 5 y^{5} x^{2}$ ciascun termine in $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ .

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - 5 y^{5} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Passaggio 5.4.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Passaggio 5.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 y^{6} x - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Passaggio 5.4.3.3.2

Scomponi $y$ da $2 y^{6} x - 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.2.1

Scomponi $y$ da $2 y^{6} x$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Passaggio 5.4.3.3.2.2

Scomponi $y$ da $- 3 y$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Passaggio 5.4.3.3.2.3

Scomponi $y$ da $y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$