Calcolo Esempi

$2 x^{2} y - \frac{3}{y} = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} y - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} y - \frac{3}{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{y}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = y$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y$ per $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Sottrai $y'$ da $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.10

$3$ e $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x^{2} y') + 2 (2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x^{2} y' + 4 y x + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, 1, y^{2}, 1$

Passaggio 5.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y^{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $y^{2}$ ciascun termine in $2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ per $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y \cdot y^{2} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.2.1.1.1

Sposta $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y^{1}) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{2 + 1} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

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Passaggio 5.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0 y^{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $0$ per $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 5.3.1

Sottrai $4 x y^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y' y^{2} + 3 y' = - 4 x y^{3}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $2 x^{2} y' y^{2} + 3 y'$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y'$ da $2 x^{2} y' y^{2}$ .

$y' (2 x^{2} y^{2}) + 3 y' = - 4 x y^{3}$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y'$ da $3 y'$ .

$y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3 = - 4 x y^{3}$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3$ .

$y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $2 x^{2} y^{2} + 3$ ciascun termine in $y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $2 x^{2} y^{2} + 3$ ciascun termine in $y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 x^{2} y^{2} + 3$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$