Calcolo Esempi

$\frac{y}{y - x} = x^{2} - 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{y - x}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = y$ e $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y y' - x y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Combina i termini opposti in $y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1.1

Sottrai $y y'$ da $y y'$ .

$\frac{- x y' + 0 - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.8.3.1.2

Somma $- x y'$ e $0$ .

$\frac{- x y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.8.3.2

Moltiplica $- y \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- x y' + 1 y}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.8.3.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{- x y' + y}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.8.4

Riordina i termini.

$\frac{- x y' + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.5

Scomponi $- 1$ da $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.6

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.7

Scomponi $- 1$ da $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.8

Riscrivi $- (x y' - y)$ come $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 3.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ .

$\frac{- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

Passaggio 5.1.2.2

Dividi $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = \frac{2 x}{- 1}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 x}{- 1}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 1 \cdot (2 x)$

Passaggio 5.1.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot (2 x)$ come $- (2 x)$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - (2 x)$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 2 x$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per ${(- x + y)}^{2}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- x + y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x y' - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Passaggio 5.3.1.2

Riordina $x$ e $y'$ .

$y' x - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Passaggio 5.4

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $- 2 x {(- x + y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Riscrivi.

$y' x - y = 0 + 0 - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Passaggio 5.4.1.2

Riscrivi ${(- x + y)}^{2}$ come $(- x + y) (- x + y)$ .

$y' x - y = - 2 x ((- x + y) (- x + y))$

Passaggio 5.4.1.3

Espandi $(- x + y) (- x + y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x + y) + y (- x + y))$

Passaggio 5.4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x + y))$

Passaggio 5.4.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Passaggio 5.4.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Passaggio 5.4.1.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Passaggio 5.4.1.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Passaggio 5.4.1.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y' x - y = - 2 x (1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Passaggio 5.4.1.4.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Passaggio 5.4.1.4.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y \cdot y)$

Passaggio 5.4.1.4.1.6

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

Passaggio 5.4.1.4.2

Sottrai $y x$ da $- x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.4.2.1

Sposta $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - x y + y^{2})$

Passaggio 5.4.1.4.2.2

Sottrai $x y$ da $- x y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

Passaggio 5.4.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$y' x - y = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.6.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.6.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.4.1.6.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.6.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.4.1.6.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' x - y = - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.4.1.6.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.4.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.6.2.1

Sposta $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.4.1.6.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x^{2} (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.4.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.7.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 \cdot - 2 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.4.1.7.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Passaggio 5.4.2

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$

Passaggio 5.4.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ .

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $- 2 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3.1.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3.1.1.2.5

Dividi $- 2 x^{2}$ per $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $4 x^{2} y$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x^{1}} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3.1.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3.1.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3.1.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x y}{1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3.1.2.2.5

Dividi $4 x y$ per $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3.1.3.2

Dividi $- 2 y^{2}$ per $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$