Calcolo Esempi

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 y$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 2.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - (2 x)$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - 2 x$

Passaggio 2.6

Riordina i termini.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y'$

Passaggio 3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $2 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) - 5 y' = 2 x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $- 5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2}) + y' (2 y)$ .

$y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5$ .

$y' (3 y^{2} + 2 y - 5) = 2 x$

Passaggio 5.3

Scomponi.

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Passaggio 5.3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.3.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e la cui somma è $b = 2$ .

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Passaggio 5.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$y' (3 y^{2} + 2 (y) - 5) = 2 x$

Passaggio 5.3.1.1.2

Riscrivi $2$ come $- 3$ più $5$ .

$y' (3 y^{2} + (- 3 + 5) y - 5) = 2 x$

Passaggio 5.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y' (3 y^{2} - 3 y + 5 y - 5) = 2 x$

Passaggio 5.3.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.3.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y' ((3 y^{2} - 3 y) + 5 y - 5) = 2 x$

Passaggio 5.3.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y' (3 y (y - 1) + 5 (y - 1)) = 2 x$

Passaggio 5.3.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $y - 1$ .

$y' ((y - 1) (3 y + 5)) = 2 x$

Passaggio 5.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$

Passaggio 5.4

Dividi per $(y - 1) (3 y + 5)$ ciascun termine in $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $(y - 1) (3 y + 5)$ ciascun termine in $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ .

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $3 y + 5$ .

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Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$