Calcolo Esempi

$y e^{x} + x e^{y} = x^{2} + y^{2} + \ln (2)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y e^{x} + x e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} + \ln (2))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y e^{x} + x e^{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [y e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y$ e $g (x) = e^{x}$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{y}$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x e^{y} y' + e^{y}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2} + \ln (2)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

Passaggio 3.3

Poiché $\ln (2)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\ln (2)$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 2 y y' + 0$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Somma $2 x + 2 y y'$ e $0$ .

$2 x + 2 y y'$

Passaggio 3.4.2

Riordina i termini.

$2 y y' + 2 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y e^{x} + e^{x} y' + x e^{y} y' + e^{y} = 2 y y' + 2 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $y e^{x} + e^{x} y' + x e^{y} y' + e^{y}$ .

$y e^{x} + y' e^{x} + x y' e^{y} + e^{y} = 2 y y' + 2 x$

Passaggio 5.2

Sottrai $2 y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y e^{x} + y' e^{x} + x y' e^{y} + e^{y} - 2 y y' = 2 x$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $y e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' e^{x} + x y' e^{y} + e^{y} - 2 y y' = 2 x - y e^{x}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' e^{x} + x y' e^{y} - 2 y y' = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $y' e^{x} + x y' e^{y} - 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $y' e^{x}$ .

$y' (e^{x}) + x (y') e^{y} - 2 y y' = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $x y' e^{y}$ .

$y' (e^{x}) + y' (x e^{y}) - 2 y y' = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $- 2 y y'$ .

$y' (e^{x}) + y' (x e^{y}) + y' (- 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $y'$ da $y' (e^{x}) + y' (x e^{y})$ .

$y' (e^{x} + x e^{y}) + y' (- 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

Passaggio 5.4.5

Scomponi $y'$ da $y' (e^{x} + x e^{y}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

Passaggio 5.5

Dividi per $e^{x} + x e^{y} - 2 y$ ciascun termine in $y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $e^{x} + x e^{y} - 2 y$ ciascun termine in $y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$ .

$\frac{y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y)}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x} + x e^{y} - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y)}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} - \frac{y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} - \frac{y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} - \frac{e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Passaggio 5.5.3.2

Riduci in una frazione.

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Passaggio 5.5.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 x - y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} - \frac{e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 x - y e^{x} - e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y e^{x} - e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$