Calcolo Esempi

$x^{3} - y = \ln (y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} - y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} - y' = \frac{y'}{y}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$(3 x^{2} - y') y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} y - y' y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} y - y' y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} y - y' y = y'$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y - y' y - y' = 0$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $3 x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' y - y' = - 3 x^{2} y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $- y' y - y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $y'$ da $- y' y$ .

$y' (- 1 y) - y' = - 3 x^{2} y$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (- 1 y) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2} y$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (- 1 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 1 y - 1) = - 3 x^{2} y$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$y' (- y - 1) = - 3 x^{2} y$

Passaggio 5.3.5

Dividi per $- y - 1$ ciascun termine in $y' (- y - 1) = - 3 x^{2} y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Dividi per $- y - 1$ ciascun termine in $y' (- y - 1) = - 3 x^{2} y$ .

$\frac{y' (- y - 1)}{- y - 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{- y - 1}$

Passaggio 5.3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- y - 1)}{- y - 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{- y - 1}$

Passaggio 5.3.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{- y - 1}$

Passaggio 5.3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- y - 1}$

Passaggio 5.3.5.3.2

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- (y) - 1}$

Passaggio 5.3.5.3.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- (y) - 1 (1)}$

Passaggio 5.3.5.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (y) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- (y + 1)}$

Passaggio 5.3.5.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.5.1

Riscrivi $- (y + 1)$ come $- 1 (y + 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- 1 (y + 1)}$

Passaggio 5.3.5.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - - \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$

Passaggio 5.3.5.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$

Passaggio 5.3.5.3.5.4

Moltiplica $\frac{3 x^{2} y}{y + 1}$ per $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$