Calcolo Esempi

$x^{3} = \ln (x y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (x y))$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 3.6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.6.2.1

$x$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 3.6.2.2

$\frac{x}{x y}$ e $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 3.6.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 3.6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 3.6.2.4

$\frac{1}{x y}$ e $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Passaggio 3.6.2.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Passaggio 3.6.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} = \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 3 x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 3 x^{2}$

Passaggio 5.2

Sottrai $\frac{1}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y'}{y} = 3 x^{2} - \frac{1}{x}$

Passaggio 5.3

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (3 x^{2} - \frac{1}{x}) y$

Passaggio 5.4

Semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 5.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} y = (3 x^{2} - \frac{1}{x}) y$

Passaggio 5.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = (3 x^{2} - \frac{1}{x}) y$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.2.1

Semplifica $(3 x^{2} - \frac{1}{x}) y$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = 3 x^{2} y - \frac{1}{x} y$

Passaggio 5.4.2.1.2

$y$ e $\frac{1}{x}$ .

$y' = 3 x^{2} y - \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} y - \frac{y}{x}$