Calcolo Esempi

$\frac{x + 3}{y} = 4 x + y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\frac{x + 3}{y}) = \frac{d}{d x} (4 x + y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 3$ e $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{y (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{y \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{y - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{y - (x + 3) y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y + (- x - 1 \cdot 3) y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y - x y' - 1 \cdot 3 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{y - x y' - 3 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 + 2 y y'$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$2 y y' + 4$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} = 2 y y' + 4$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- x y' + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Sposta $x$ .

$- 1 y' x + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Sposta $y$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = (2 y y' + 4) y^{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $(2 y y' + 4) y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y y' y^{2} + 4 y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Sposta $y^{2}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y) y' + 4 y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y^{1}) y' + 4 y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{2 + 1} y' + 4 y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{3} y' + 4 y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.3

Sposta $y^{3}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $- 1 y'$ come $- y'$ .

$- y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $2 y' y^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' x - 3 y' + y - 2 y' y^{3} = 4 y^{2}$

Passaggio 5.3.3

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $y'$ da $- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $y'$ da $- y' x$ .

$y' (- 1 x) - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Passaggio 5.3.4.2

Scomponi $y'$ da $- 3 y'$ .

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Passaggio 5.3.4.3

Scomponi $y'$ da $- 2 y' y^{3}$ .

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Passaggio 5.3.4.4

Scomponi $y'$ da $y' (- 1 x) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Passaggio 5.3.4.5

Scomponi $y'$ da $y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3})$ .

$y' (- 1 x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Passaggio 5.3.6

Dividi per $- x - 3 - 2 y^{3}$ ciascun termine in $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Dividi per $- x - 3 - 2 y^{3}$ ciascun termine in $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ .

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Passaggio 5.3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $- x - 3 - 2 y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Passaggio 5.3.6.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Passaggio 5.3.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{4 y^{2} - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Passaggio 5.3.6.3.2

Scomponi $y$ da $4 y^{2} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.2.1

Scomponi $y$ da $4 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (4 y) - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Passaggio 5.3.6.3.2.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y' = \frac{y (4 y) + y \cdot - 1}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Passaggio 5.3.6.3.2.3

Scomponi $y$ da $y (4 y) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Passaggio 5.3.6.3.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 3 - 2 y^{3}}$

Passaggio 5.3.6.3.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 1 (3) - 2 y^{3}}$

Passaggio 5.3.6.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - 2 y^{3}}$

Passaggio 5.3.6.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - (2 y^{3})}$

Passaggio 5.3.6.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (x + 3) - (2 y^{3})$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3 + 2 y^{3})}$

Passaggio 5.3.6.3.8

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.8.1

Riscrivi $- (x + 3 + 2 y^{3})$ come $- 1 (x + 3 + 2 y^{3})$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- 1 (x + 3 + 2 y^{3})}$

Passaggio 5.3.6.3.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$