Calcolo Esempi

$x^{2} \cos (y) + \sin (2 y) = x y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (y)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$x^{2} (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 y$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.1.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) (2 y')$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 \cos (2 y) y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x y' + y$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 \cos (2 y) y' = x y' + y$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = x y' + y$

Passaggio 5.2

Sottrai $2 x \cos (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = x y' + y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.3

Sottrai $x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.4

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.1

Semplifica $- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - x y'$ .

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Passaggio 5.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.4.1.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 + 2 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.4.1.1.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 - 4 \sin^{2} (y)) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.4.1.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 y' - 4 \sin^{2} (y) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.4.1.2

Riordina i fattori in $- x^{2} \sin (y) y' + 2 y' - 4 \sin^{2} (y) y' - x y'$ .

$- x^{2} y' \sin (y) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione per $y'$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $y'$ da $- x^{2} y' \sin (y) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y'$ .

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Passaggio 5.5.1.1

Scomponi $y'$ da $- x^{2} y' \sin (y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.5.1.2

Scomponi $y'$ da $2 y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.5.1.3

Scomponi $y'$ da $- 4 y' \sin^{2} (y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 + y' (- 4 \sin^{2} (y)) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.5.1.4

Scomponi $y'$ da $- x y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 + y' (- 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.5.1.5

Scomponi $y'$ da $y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2) + y' (- 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.5.1.6

Scomponi $y'$ da $y' (- x^{2} \sin (y) + 2) + y' (- 4 \sin^{2} (y))$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.5.1.7

Scomponi $y'$ da $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ ciascun termine in $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ ciascun termine in $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$ .

$\frac{y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ .

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Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} - \frac{2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Passaggio 5.5.2.3.3

Scomponi $- 1$ da $- x^{2} \sin (y)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y)) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Passaggio 5.5.2.3.4

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y)) - 1 (- 2) - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Passaggio 5.5.2.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} \sin (y)) - 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2) - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Passaggio 5.5.2.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 4 \sin^{2} (y)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2) - (4 \sin^{2} (y)) - x}$

Passaggio 5.5.2.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} \sin (y) - 2) - (4 \sin^{2} (y))$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - x}$

Passaggio 5.5.2.3.8

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - (x)}$

Passaggio 5.5.2.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - (x)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)}$

Passaggio 5.5.2.3.10

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 5.5.2.3.10.1

Riscrivi $- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)$ come $- 1 (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- 1 (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)}$

Passaggio 5.5.2.3.10.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y - 2 x \cos (y)}{x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 2 x \cos (y)}{x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x}$