Calcolo Esempi

$x^{2} y + x y^{2} = 3 x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + x y^{2}) = \frac{d}{d x} (3 x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y + x y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 x y y' + y^{2}$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = 3$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = 3 - y^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' + 2 x y y' = 3 - y^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.2

Scomponi $x y'$ da $x^{2} y' + 2 x y y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x y'$ da $x^{2} y'$ .

$x y' x + 2 x y y' = 3 - y^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x y'$ da $2 x y y'$ .

$x y' x + x y' (2 y) = 3 - y^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' x + x y' (2 y)$ .

$x y' (x + 2 y) = 3 - y^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x (x + 2 y)$ ciascun termine in $x y' (x + 2 y) = 3 - y^{2} - 2 x y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $x (x + 2 y)$ ciascun termine in $x y' (x + 2 y) = 3 - y^{2} - 2 x y$ .

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{3}{x (x + 2 y)} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{3}{x (x + 2 y)} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{3}{x (x + 2 y)} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x + 2 y$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{3}{x (x + 2 y)} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3}{x (x + 2 y)} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{3}{x (x + 2 y)} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3}{x (x + 2 y)} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3}{x (x + 2 y)} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{3}{x (x + 2 y)} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{3}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (x + 2 y)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{2 y}{x + 2 y}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{3}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(x + 2 y) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{3}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{3 - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y^{2} + 3 - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) + 3 - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.7

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1 (- 3) - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2}) - 1 (- 3)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} - 3) - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.9

Scomponi $- 1$ da $- 2 y x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} - 3) - (2 y x)}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.10

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2} - 3) - (2 y x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} - 3 + 2 y x)}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.11.1

Riscrivi $- (y^{2} - 3 + 2 y x)$ come $- 1 (y^{2} - 3 + 2 y x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} - 3 + 2 y x)}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.11.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2} - 3 + 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} - 3 + 2 y x}{x (x + 2 y)}$