Calcolo Esempi

$x^{3} - y^{3} = 3 x^{2} y - 3 x y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} y - 3 x y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} y - 3 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Passaggio 3.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 3.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (2 x y y' + y^{2})$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) - 3 (2 x y y' + y^{2})$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) - 3 (2 x y y') - 3 y^{2}$

Passaggio 3.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} y' + 6 (y x) - 3 (2 x y y') - 3 y^{2}$

Passaggio 3.4.3.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$3 x^{2} y' + 6 y x - 6 x y y' - 3 y^{2}$

Passaggio 3.4.4

Riordina i termini.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = - 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $y'$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' = 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Passaggio 5.2

Somma $3 y^{2} y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Somma $3 y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $6 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y' - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Passaggio 5.4

Scomponi $3 y'$ da $3 x^{2} y' - 6 x y y' + 3 y^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $3 y'$ da $3 x^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $3 y'$ da $- 6 x y y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y) + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $3 y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y) + 3 y' y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $3 y'$ da $3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y)$ .

$3 y' (x^{2} - 2 x y) + 3 y' y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Passaggio 5.4.5

Scomponi $3 y'$ da $3 y' (x^{2} - 2 x y) + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Passaggio 5.5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Passaggio 5.5.2

Riscrivi il polinomio.

$3 y' (x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Passaggio 5.5.3

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = y$ .

$3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Passaggio 5.6

Dividi per $3 {(x - y)}^{2}$ ciascun termine in $3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Dividi per $3 {(x - y)}^{2}$ ciascun termine in $3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$ .

$\frac{3 y' {(x - y)}^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y' {(x - y)}^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2.2

Elimina il fattore comune di ${(x - y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1.3.1

Scomponi $3$ da $- 6 x y$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 {(x - y)}^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 ({(x - y)}^{2})}$

Passaggio 5.6.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$