Calcolo Esempi

$x^{3} y^{2} - y e^{2 x y} = - 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{2} - y e^{2 x y}) = \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} y^{2} - y e^{2 x y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- y e^{2 x y}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y e^{2 x y}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y e^{2 x y}]$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - \frac{d}{d x} [y e^{2 x y}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y$ e $g (x) = e^{2 x y}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x y$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x y$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x y$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 \frac{d}{d x} [x y])) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.6

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y \cdot 1))) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.8

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y \cdot 1))) + e^{2 x y} y')$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y' + y))) + e^{2 x y} y')$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y') + 2 y)) + e^{2 x y} y')$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y')) + e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} y')$

Passaggio 2.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y'))) + y (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} y')$

Passaggio 2.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - (y (e^{2 x y} (2 (x y')))) - (y (e^{2 x y} (2 y))) - (e^{2 x y} y')$

Passaggio 2.4.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 (y (e^{2 x y} (x y'))) - (y (e^{2 x y} (2 y))) - (e^{2 x y} y')$

Passaggio 2.4.5.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{1} y (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

Passaggio 2.4.5.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{1} y^{1} (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

Passaggio 2.4.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{1 + 1} (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

Passaggio 2.4.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{2} (e^{2 x y} \cdot (2))) - (e^{2 x y} y')$

Passaggio 2.4.5.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x y}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - (y^{2} (2 \cdot e^{2 x y})) - (e^{2 x y} y')$

Passaggio 2.4.5.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2} - 2 y (e^{2 x y} (x y')) - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y'$

Passaggio 2.4.6

Riordina i termini.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 e^{2 x y} x y y' - 2 e^{2 x y} y^{2} - e^{2 x y} y'$

Passaggio 2.4.7

Riordina i fattori in $2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 e^{2 x y} x y y' - 2 e^{2 x y} y^{2} - e^{2 x y} y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y e^{2 x y} y' - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y'$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y e^{2 x y} y' - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y e^{2 x y} y' - 2 y^{2} e^{2 x y} - e^{2 x y} y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y y' e^{2 x y} - 2 y^{2} e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $3 x^{2} y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} y y' - 2 x y y' e^{2 x y} - 2 y^{2} e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2}$

Passaggio 5.2.2

Somma $2 y^{2} e^{2 x y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} y y' - 2 x y y' e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $2 x^{3} y y' - 2 x y y' e^{2 x y} - y' e^{2 x y}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da $2 x^{3} y y'$ .

$y' (2 x^{3} y) - 2 x y y' e^{2 x y} - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $- 2 x y y' e^{2 x y}$ .

$y' (2 x^{3} y) + y' (- 2 x y e^{2 x y}) - y' e^{2 x y} = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $- y' e^{2 x y}$ .

$y' (2 x^{3} y) + y' (- 2 x y e^{2 x y}) + y' (- 1 e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $y'$ da $y' (2 x^{3} y) + y' (- 2 x y e^{2 x y})$ .

$y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y}) + y' (- 1 e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Passaggio 5.3.5

Scomponi $y'$ da $y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y}) + y' (- 1 e^{2 x y})$ .

$y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - 1 e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $- 1 e^{2 x y}$ come $- e^{2 x y}$ .

$y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$

Passaggio 5.5

Dividi per $2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}$ ciascun termine in $y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}$ ciascun termine in $y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}) = - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$ .

$\frac{y' (2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}} + \frac{2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}} + \frac{2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Passaggio 5.5.3.2

Scomponi $y^{2}$ da $- 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{2} e^{2 x y}$ .

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Passaggio 5.5.3.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 3 x^{2}) + 2 y^{2} e^{2 x y}}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Scomponi $y^{2}$ da $2 y^{2} e^{2 x y}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 3 x^{2}) + y^{2} (2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Passaggio 5.5.3.2.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} (- 3 x^{2}) + y^{2} (2 e^{2 x y})$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 3 x^{2} + 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Passaggio 5.5.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- (3 x^{2}) + 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Passaggio 5.5.3.4

Scomponi $- 1$ da $2 e^{2 x y}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- (3 x^{2}) - (- 2 e^{2 x y}))}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Passaggio 5.5.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (- 2 e^{2 x y})$ .

$y' = \frac{y^{2} (- (3 x^{2} - 2 e^{2 x y}))}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Passaggio 5.5.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.5.3.6.1

Riscrivi $- (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})$ come $- 1 (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 1 (3 x^{2} - 2 e^{2 x y}))}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Passaggio 5.5.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2} (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} (3 x^{2} - 2 e^{2 x y})}{2 x^{3} y - 2 x y e^{2 x y} - e^{2 x y}}$