Calcolo Esempi

$\sqrt{x} = 3 \sqrt{y}$

Passaggio 1

Rewrite the equation with rational exponents.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 3 \sqrt{y}$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 3 y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

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Passaggio 3.7.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 4.8

$\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 4.9

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 4.10

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.11

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Passaggio 4.12

$\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $y'$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica ogni lato per $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.3.1.1

Semplifica $\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Passaggio 6.3.1.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 6.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$3 y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.2.1

Semplifica $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Passaggio 6.3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 y' = 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 y' = 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3 y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.2.1.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ e semplifica.

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Passaggio 6.4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 6.4.3.2

Combina.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Passaggio 6.4.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.4.3.3.1

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Passaggio 6.4.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}}}$