Calcolo Esempi

e^{y} = x y

$e^{y} = x y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x y)

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ e

g (x) = y

$g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta

u

$u$ come

y

$y$ .

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ dove

a

$a$ =

e

$e$ .

e^{u} \frac{d}{d x} [y]

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

y

$y$ .

e^{y} \frac{d}{d x} [y]

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

e^{y} \frac{d}{d x} [y]

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ come

y'

$y'$ .

e^{y} y'

$e^{y} y'$

e^{y} y'

$e^{y} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove

f (x) = x

$f (x) = x$ e

g (x) = y

$g (x) = y$ .

x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Riscrivi

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ come

y'

$y'$ .

x y' + y \frac{d}{d x} [x]

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

x y' + y \cdot 1

$x y' + y \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica

y

$y$ per

1

$1$ .

x y' + y

$x y' + y$

x y' + y

$x y' + y$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

e^{y} y' = x y' + y

$e^{y} y' = x y' + y$

Passaggio 5

Risolvi per

y'

$y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riordina i fattori in

e^{y} y'

$e^{y} y'$ .

y' e^{y} = x y' + y

$y' e^{y} = x y' + y$

Passaggio 5.2

Sottrai

x y'

$x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

y' e^{y} - x y' = y

$y' e^{y} - x y' = y$

Passaggio 5.3

Scomponi

y'

$y'$ da

y' e^{y} - x y'

$y' e^{y} - x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi

y'

$y'$ da

y' e^{y}

$y' e^{y}$ .

y' (e^{y}) - x y' = y

$y' (e^{y}) - x y' = y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi

y'

$y'$ da

- x y'

$- x y'$ .

y' (e^{y}) + y' (- x) = y

$y' (e^{y}) + y' (- x) = y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi

y'

$y'$ da

y' (e^{y}) + y' (- x)

$y' (e^{y}) + y' (- x)$ .

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$

Passaggio 5.4

Dividi per

e^{y} - x

$e^{y} - x$ ciascun termine in

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per

e^{y} - x

$e^{y} - x$ ciascun termine in

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$ .

\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di

e^{y} - x

$e^{y} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi

$y'$ per

$1$ .

$y' = \frac{y}{e^{y} - x}$

Passaggio 6

Sostituisci

$y'$ con

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y} - x}$