Calcolo Esempi

$x^{2} (y - 6) = 12 y + 3$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} (y - 6)) = \frac{d}{d x} (12 y + 3)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y - 6$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y - 6] + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} (y' + \frac{d}{d x} [- 6]) + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (y' + 0) + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.5

Somma $y'$ e $0$ .

$x^{2} y' + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} y' + (y - 6) (2 x)$

Passaggio 2.7

Sposta $2$ alla sinistra di $y - 6$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot (y - 6) x$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} y' + (2 y + 2 \cdot - 6) x$

Passaggio 2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \cdot - 6 x$

Passaggio 2.8.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 12 x$

Passaggio 2.8.4

Riordina i termini.

$x^{2} y' + 2 x y - 12 x$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 y + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [12 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 y$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [y]$ .

$12 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$12 y' + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 y' + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $12 y'$ e $0$ .

$12 y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x^{2} y' + 2 x y - 12 x = 12 y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $12 y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' + 2 x y - 12 x - 12 y' = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' - 12 x - 12 y' = - 2 x y$

Passaggio 5.2.2

Somma $12 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' - 12 y' = - 2 x y + 12 x$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $x^{2} y' - 12 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - 12 y' = - 2 x y + 12 x$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $- 12 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot - 12 = - 2 x y + 12 x$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' x^{2} + y' \cdot - 12$ .

$y' (x^{2} - 12) = - 2 x y + 12 x$

Passaggio 5.4

Dividi per $x^{2} - 12$ ciascun termine in $y' (x^{2} - 12) = - 2 x y + 12 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $x^{2} - 12$ ciascun termine in $y' (x^{2} - 12) = - 2 x y + 12 x$ .

$\frac{y' (x^{2} - 12)}{x^{2} - 12} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 12} + \frac{12 x}{x^{2} - 12}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{2} - 12)}{x^{2} - 12} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 12} + \frac{12 x}{x^{2} - 12}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 12} + \frac{12 x}{x^{2} - 12}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 x y + 12 x}{x^{2} - 12}$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Scomponi $2 x$ da $- 2 x y + 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1.1

Scomponi $2 x$ da $- 2 x y$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y) + 12 x}{x^{2} - 12}$

Passaggio 5.4.3.2.1.2

Scomponi $2 x$ da $12 x$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y) + 2 x (6)}{x^{2} - 12}$

Passaggio 5.4.3.2.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (- 1 y) + 2 x (6)$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y + 6)}{x^{2} - 12}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$y' = \frac{2 x (- y + 6)}{x^{2} - 12}$

Passaggio 5.4.3.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{2 x (- (y) + 6)}{x^{2} - 12}$

Passaggio 5.4.3.3.2

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$y' = \frac{2 x (- (y) - 1 (- 6))}{x^{2} - 12}$

Passaggio 5.4.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (y) - 1 (- 6)$ .

$y' = \frac{2 x (- (y - 6))}{x^{2} - 12}$

Passaggio 5.4.3.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.4.1

Riscrivi $- (y - 6)$ come $- 1 (y - 6)$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 (y - 6))}{x^{2} - 12}$

Passaggio 5.4.3.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{(2 x) (y - 6)}{x^{2} - 12}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x) (y - 6)}{x^{2} - 12}$