Calcolo Esempi

$\sqrt[3]{x y} = 14 x + y$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x y}$ come ${(x y)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(x y)}^{\frac{1}{3}} = 14 x + y$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(x y)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (14 x + y)$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$\frac{1}{3} {(x y)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x y)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x y)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(x y)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(x y)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(x y)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.6.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x y)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x y)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.6.3

Sposta ${(x y)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x y)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{1}{3 {(x y)}^{\frac{2}{3}}} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.8

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{3 {(x y)}^{\frac{2}{3}}} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x y)}^{\frac{2}{3}}} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.10

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{1}{3 {(x y)}^{\frac{2}{3}}} (x y' + y)$

Passaggio 3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Applica la regola del prodotto a $x y$ .

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} (x y' + y)$

Passaggio 3.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} (x y') + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Passaggio 3.11.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.1

$x$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}} y' + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Passaggio 3.11.3.2

$\frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}}$ e $y'$ .

$\frac{x y'}{3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Passaggio 3.11.3.3

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x y' x^{- \frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Passaggio 3.11.3.4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.4.1

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}} x y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Passaggio 3.11.3.4.2

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{1} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Passaggio 3.11.3.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{- \frac{2}{3} + 1} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Passaggio 3.11.3.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Passaggio 3.11.3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{- 2 + 3}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Passaggio 3.11.3.4.5

Somma $- 2$ e $3$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Passaggio 3.11.3.5

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}}$ e $y$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y}{3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.11.3.6

Sposta $y^{\frac{2}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.11.3.7

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.7.1

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.7.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.11.3.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{1 - \frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.11.3.7.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.11.3.7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{3 - 2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.11.3.7.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $14 x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 x$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $14$ per $1$ .

$14 + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$14 + y'$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 14 + y'$

Passaggio 6

Risolvi per $x y {y'}^{\frac{3}{4}}$ .

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Passaggio 6.1

Riordina i fattori in $\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 14 - y'$ .

$\frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 14 - y' = 0$

Passaggio 6.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3 y^{\frac{2}{3}}, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1, 1, 1$

Passaggio 6.2.2

Since $3 y^{\frac{2}{3}}, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{2}{3}}$ .

Passaggio 6.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 6.2.4

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 6.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 6.2.6

Il minimo comune multiplo di $3, 3, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3$

Passaggio 6.2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{2}{3}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.2.8

Il minimo comune multiplo di $3 y^{\frac{2}{3}}, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1, 1, 1$ è la parte numerica $3$ moltiplicata per la parte variabile.

$3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica per $3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ ciascun termine in $\frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 14 - y' = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 14 - y' = 0$ per $3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{2}{3}}} (y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}} (y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.3.1

Scomponi $y^{\frac{2}{3}}$ da $y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}} (y^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{2}{3}})) + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.3.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y' x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.4

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.4.1

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ .

$y' (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' x^{\frac{2 + 1}{3}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.4.4

Somma $2$ e $1$ .

$y' x^{\frac{3}{3}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.4.5

Dividi $3$ per $3$ .

$y' x^{1} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.5

Semplifica $y' x^{1}$ .

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' x + 3 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.7.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.3.2.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} (y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.8

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.8.1

Scomponi $x^{\frac{2}{3}}$ da $y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ .

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.3.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$y' x + y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}} - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.9

Moltiplica $y^{\frac{1}{3}}$ per $y^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.9.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' x + y^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.9.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' x + y^{\frac{1 + 2}{3}} - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.9.3

Somma $1$ e $2$ .

$y' x + y^{\frac{3}{3}} - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.9.4

Dividi $3$ per $3$ .

$y' x + y^{1} - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.10

Semplifica $y^{1}$ .

$y' x + y - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.11

Moltiplica $3$ per $- 14$ .

$y' x + y - 42 (y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.12

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y' x + y - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$y' x + y - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6.3.3.1.2

Moltiplica $y^{\frac{2}{3}}$ per $0$ .

$y' x + y - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.3.3.1.3

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{2}{3}}$ .

$y' x + y - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} = 0$

Passaggio 6.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Trova un fattore comune $y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ che è presente in ciascun termine.

${(y' x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.4.2

Sostituisci $y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ per $u$ .

${(y' x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Semplifica ${(y' x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(y' x^{\frac{2 + 2}{3}})}^{\frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

${(y' x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $y' x^{\frac{4}{3}}$ .

${y'}^{\frac{3}{4}} {(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1.1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${y'}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.4.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

${y'}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

${y'}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.4.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

${y'}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

${y'}^{\frac{3}{4}} x^{1} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.5

Semplifica.

${y'}^{\frac{3}{4}} x {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${y'}^{\frac{3}{4}} x {(y^{\frac{2 + 2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.7

Somma $2$ e $2$ .

${y'}^{\frac{3}{4}} x {(y^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1.1.8.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${y'}^{\frac{3}{4}} x y^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.8.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1.1.8.2.1

Elimina il fattore comune.

${y'}^{\frac{3}{4}} x y^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

${y'}^{\frac{3}{4}} x y^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.8.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1.1.8.3.1

Elimina il fattore comune.

${y'}^{\frac{3}{4}} x y^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.8.3.2

Riscrivi l'espressione.

${y'}^{\frac{3}{4}} x y^{1} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.1.9

Semplifica.

${y'}^{\frac{3}{4}} x y - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.1.2

Riordina i fattori in ${y'}^{\frac{3}{4}} x y - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u$ .

$x y {y'}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.2

Trova un fattore comune $x y {y'}^{\frac{3}{4}}$ che è presente in ciascun termine.

$x y {y'}^{\frac{3}{4}} - 42 {(y x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{16}{9}} - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.4.3.3

Sostituisci $x y {y'}^{\frac{3}{4}}$ per $u$ .

$(u) - 42 {(y x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{16}{9}} - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Passaggio 6.4.3.4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.1

Semplifica $u - 42 {(y x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{16}{9}} - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $y x^{\frac{3}{4}}$ .

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} {(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{16}{9}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{16}{9}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.1.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{9}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.1.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{3 (3)}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{3 \cdot 3}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{3}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.1.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.1.1.2.3.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (4)}{3}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 4}{3}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.1.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u - 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 3 u^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$u - 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 3 u^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$u - 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 3 u^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.1.3.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.1.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$u - 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 3 u^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$u - 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 3 u^{1} = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.1.4

Semplifica.

$u - 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 3 u = 0$

Passaggio 6.4.3.4.1.2

Sottrai $3 u$ da $u$ .

$- 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 2 u = 0$

Passaggio 6.4.3.4.2

Somma $42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 u = 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.4.3.4.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 u = 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 u = 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{- 2 u}{- 2} = \frac{42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}}{- 2}$

Passaggio 6.4.3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 u}{- 2} = \frac{42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}}{- 2}$

Passaggio 6.4.3.4.3.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}}{- 2}$

Passaggio 6.4.3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.3.3.1

Scomponi $2$ da $42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$ .

$u = \frac{2 (21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}})}{- 2}$

Passaggio 6.4.3.4.3.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.4.3.3.2.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}}{- 1}$ .

$u = - 1 \cdot (21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.4.3.4.3.3.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot (21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}})$ come $- (21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}})$ .

$u = - (21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.4.3.4.3.3.2.3

Moltiplica $21$ per $- 1$ .

$u = - 21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.4.3.5

Sostituisci $u$ per $u$ .

$x y {y'}^{\frac{3}{4}} = - 21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$