Calcolo Esempi

$\frac{2 x + y}{x - 5 y} = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\frac{2 x + y}{x - 5 y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x + y$ e $g (x) = x - 5 y$ .

$\frac{(x - 5 y) \frac{d}{d x} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 y$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 \frac{d}{d x} [y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.1

Espandi $(x - 5 y) (2 + y')$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 + y') - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- 2 x - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.4

Espandi $(- 2 x - y) (1 - 5 y')$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x (1 - 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.5.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.5.2

Moltiplica $- 5$ per $- 2$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.5.4

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.2

Combina i termini opposti in $2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'$ .

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Passaggio 2.8.2.2.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 0 + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.2.2

Somma $x y' - 10 y - 5 y y'$ e $0$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.2.3

Somma $- 5 y y'$ e $5 y y'$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y + 0}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.2.4

Somma $x y' - 10 y + 10 x y' - y$ e $0$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.3

Somma $x y'$ e $10 x y'$ .

$\frac{11 x y' - 10 y - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2.4

Sottrai $y$ da $- 10 y$ .

$\frac{11 x y' - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.3

Scomponi $11$ da $11 x y' - 11 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Scomponi $11$ da $11 x y'$ .

$\frac{11 (x y') - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.3.2

Scomponi $11$ da $- 11 y$ .

$\frac{11 (x y') + 11 (- y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 2.8.3.3

Scomponi $11$ da $11 (x y') + 11 (- y)$ .

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$11 (x y' - y) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi l'equazione per $y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $11$ ciascun termine in $11 (x y' - y) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Dividi per $11$ ciascun termine in $11 (x y' - y) = 0$ .

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Dividi $x y' - y$ per $1$ .

$x y' - y = \frac{0}{11}$

Passaggio 5.2.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.1.3.1

Dividi $0$ per $11$ .

$x y' - y = 0$

Passaggio 5.2.2

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y' = y$

Passaggio 5.2.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y' = y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y' = y$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Passaggio 5.2.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$