Calcolo Esempi

$e^{\cos (y)} = x^{9} \arctan (y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d c} (e^{\cos (y)}) = \frac{d}{d c} (x^{9} \arctan (y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ è $f' (g (c)) g' (c)$ dove $f (c) = e^{c}$ e $g (c) = \cos (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (y)$ .

$e^{\cos (y)} \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ è $f' (g (c)) g' (c)$ dove $f (c) = \cos (c)$ e $g (c) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$e^{\cos (y)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d c} [y])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d c} [y])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (y) \frac{d}{d c} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d c} [y]$ come $y'$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (y) y')$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori di $e^{\cos (y)} (- \sin (y) y')$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $x^{9}$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $x^{9} \arctan (y)$ rispetto a $c$ è $x^{9} \frac{d}{d c} [\arctan (y)]$ .

$x^{9} \frac{d}{d c} [\arctan (y)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ è $f' (g (c)) g' (c)$ dove $f (c) = \arctan (c)$ e $g (c) = y$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{9} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d c} [y])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{9} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d c} [y])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{9} (\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d}{d c} [y])$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{1 + y^{2}}$ e $x^{9}$ .

$\frac{x^{9}}{1 + y^{2}} \frac{d}{d c} [y]$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d c} [y]$ come $y'$ .

$\frac{x^{9}}{1 + y^{2}} y'$

Passaggio 3.5

$\frac{x^{9}}{1 + y^{2}}$ e $y'$ .

$\frac{x^{9} y'}{1 + y^{2}}$

Passaggio 3.6

Riordina i termini.

$\frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2} + 1$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' (y^{2} + 1) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $- e^{\cos (y)} \sin (y) y' (y^{2} + 1)$ .

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Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y' \cdot 1 = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.2.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y' = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riordina i fattori in $- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y'$ .

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = x^{9} y'$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.3.1

Sottrai $x^{9} y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y' = 0$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y'$ da $- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y' = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y'$ da $- y' e^{\cos (y)} \sin (y)$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) - x^{9} y' = 0$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $y'$ da $- x^{9} y'$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9}) = 0$

Passaggio 5.3.2.4

Scomponi $y'$ da $y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y))$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9}) = 0$

Passaggio 5.3.2.5

Scomponi $y'$ da $y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9})$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi $- 1 y^{2}$ come $- y^{2}$ .

$y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $- 1 e^{\cos (y)}$ come $- e^{\cos (y)}$ .

$y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Passaggio 5.3.5

Dividi per $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ ciascun termine in $y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Dividi per $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ ciascun termine in $y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$ .

$\frac{y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9})}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}} = \frac{0}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}}$

Passaggio 5.3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{0}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}}$

Passaggio 5.3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1

Dividi $0$ per $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

$y' = 0$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d c}$ .

$\frac{d y}{d c} = 0$