Calcolo Esempi

$y = \frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $t$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}$ rispetto a $t$ è $7 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = 5 + 5 \sec (t)$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \frac{d}{d t} [\tan (t)] - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 + 5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\tan (t)$ rispetto a $t$ è $\sec^{2} (t)$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 + 5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + 5 \sec (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)]$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (0 + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [5 \sec (t)]$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 \sec (t)$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (5 \frac{d}{d t} [\sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan (t) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.5

La derivata di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\sec (t) \tan (t)$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.6

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.7

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.9

Somma $1$ e $1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.10

$7$ e $\frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$ .

$\frac{7 ((5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 (5 \sec^{2} (t) + 5 \sec (t) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 (5 \sec^{2} (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.1

Scomponi $7 \sec (t)$ da $7 (5 \sec^{2} (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.1.1

Scomponi $7 \sec (t)$ da $7 (5 \sec^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.2

Scomponi $7 \sec (t)$ da $7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.3

Scomponi $7 \sec (t)$ da $7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.4

Scomponi $7 \sec (t)$ da $7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.5

Scomponi $7 \sec (t)$ da $7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.2

Scomponi $5$ da $5 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t)) - 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.3

Scomponi $5$ da $- 5 \tan^{2} (t)$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t)) + 5 (- \tan^{2} (t)))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.4

Scomponi $5$ da $5 (\sec^{2} (t)) + 5 (- \tan^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \cdot 1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.8

Moltiplica $7 \sec (t) (5 \sec (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.8.1

Moltiplica $5$ per $7$ .

$\frac{35 \sec (t) \sec (t) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.8.2

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{35 (\sec^{1} (t) \sec (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.8.3

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{35 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.8.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{35 {\sec (t)}^{1 + 1} + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{35 \sec^{2} (t) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.9

Moltiplica $5$ per $7$ .

$\frac{35 \sec^{2} (t) + 35 \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.4

Scomponi $35 \sec (t)$ da $35 \sec^{2} (t) + 35 \sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.1

Scomponi $35 \sec (t)$ da $35 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.4.2

Scomponi $35 \sec (t)$ da $35 \sec (t)$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t) (1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.4.3

Scomponi $35 \sec (t)$ da $35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t) (1)$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.5.1

Scomponi $5$ da $5 + 5 \sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.5.1.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 \cdot 1 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.5.1.2

Scomponi $5$ da $5 \cdot 1 + 5 \sec (t)$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 (1 + \sec (t)))}^{2}}$

Passaggio 3.11.5.2

Applica la regola del prodotto a $5 (1 + \sec (t))$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{5^{2} {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.5.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{25 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.6

Elimina il fattore comune di $35$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.6.1

Scomponi $5$ da $35 \sec (t) (\sec (t) + 1)$ .

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{25 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.6.2.1

Scomponi $5$ da $25 {(1 + \sec (t))}^{2}$ .

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{5 (5 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

Passaggio 3.11.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{5 (5 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

Passaggio 3.11.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.7

Elimina il fattore comune di $\sec (t) + 1$ e ${(1 + \sec (t))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.7.1

Riordina i termini.

$\frac{7 \sec (t) (1 + \sec (t))}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.7.2

Scomponi $1 + \sec (t)$ da $7 \sec (t) (1 + \sec (t))$ .

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Passaggio 3.11.7.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.7.3.1

Scomponi $1 + \sec (t)$ da $5 {(1 + \sec (t))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (5 (1 + \sec (t)))}$

Passaggio 3.11.7.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (5 (1 + \sec (t)))}$

Passaggio 3.11.7.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$