Calcolo Esempi

$y = {(5 t^{2} - 4 t)}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(5 t^{2} - 4 t)}^{2})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $t$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 5 t^{2} - 4 t$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 t^{2} - 4 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 t^{2} - 4 t$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 t^{2} - 4 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Passaggio 3.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t^{2}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 4 t$ rispetto a $t$ è $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \cdot 1)$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4)$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Passaggio 3.3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$(10 t^{2} + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$

Passaggio 3.3.3

Riordina i fattori di $(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$ .

$(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$

Passaggio 3.3.4

Espandi $(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 t (10 t^{2} - 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Passaggio 3.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Passaggio 3.3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Passaggio 3.3.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.5.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$10 \cdot 10 t \cdot t^{2} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Passaggio 3.3.5.1.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.5.1.2.1

Sposta $t^{2}$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Passaggio 3.3.5.1.2.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

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Passaggio 3.3.5.1.2.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t^{1}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Passaggio 3.3.5.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 \cdot 10 t^{2 + 1} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Passaggio 3.3.5.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$10 \cdot 10 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Passaggio 3.3.5.1.3

Moltiplica $10$ per $10$ .

$100 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Passaggio 3.3.5.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t \cdot t - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Passaggio 3.3.5.1.5

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.5.1.5.1

Sposta $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 (t \cdot t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Passaggio 3.3.5.1.5.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Passaggio 3.3.5.1.6

Moltiplica $10$ per $- 8$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Passaggio 3.3.5.1.7

Moltiplica $10$ per $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} - 4 (- 8 t)$

Passaggio 3.3.5.1.8

Moltiplica $- 8$ per $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} + 32 t$

Passaggio 3.3.5.2

Sottrai $40 t^{2}$ da $- 80 t^{2}$ .

$100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$