Calcolo Esempi

$y = {(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$

Passaggio 1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$ .

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Passaggio 1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = e^{\cos (\frac{t}{7}) \cdot 4}$

Passaggio 1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (\frac{t}{7})$ .

$y = e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{4 \cos (\frac{t}{7})})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $t$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 4 \cos (\frac{t}{7})$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 \cos (\frac{t}{7})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 \cos (\frac{t}{7})$ .

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 4.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 \cos (\frac{t}{7})$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$ .

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})])$

Passaggio 4.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ .

$4 \cdot e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = \frac{t}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{t}{7}$ .

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Passaggio 4.3.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{t}{7}$ .

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Passaggio 4.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Passaggio 4.4.2

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{t}{7}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) (\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.4.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

$\frac{1}{7}$ e $- 4$ .

$\frac{- 4}{7} e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.4.3.2

$\frac{- 4}{7}$ e $e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ .

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.4.3.3

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7}$ e $\sin (\frac{t}{7})$ .

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.4.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \cdot 1$

Passaggio 4.4.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$