Calcolo Esempi

$y = \sqrt{\frac{t}{t + 1}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{t}{t + 1}}$ come ${(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $t$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = \frac{t}{t + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{t}{t + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{t}{t + 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Passaggio 4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = t + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Differenzia.

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Passaggio 4.8.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $t + 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.8.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8.6.3

Sottrai $t$ da $t$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8.6.4

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8.6.5

Moltiplica $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.8.6.6

Sposta $2$ alla sinistra di ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(t + 1)}^{2}} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.9

Semplifica.

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Passaggio 4.9.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}} {(\frac{t + 1}{t})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{t + 1}{t}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.9.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}}$ per $\frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.2

Sposta ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3

Moltiplica ${(t + 1)}^{2}$ per ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.3.1

Sposta ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(t + 1)}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.3.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3.6.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$