Calcolo Esempi

$y = \cot^{2} (\cos^{4} (t))$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cot^{2} (\cos^{4} (t)))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $t$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \cot (\cos^{4} (t))$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cot (\cos^{4} (t))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cot (\cos^{4} (t))$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cot (t)$ e $g (t) = \cos^{4} (t)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos^{4} (t)$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\cot (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos^{4} (t)$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) (\csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = \cos (t)$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\cos (t)$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\cos (t)$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 \cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Passaggio 3.5

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Passaggio 3.6

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) (- \sin (t))$

Passaggio 3.7

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$

Passaggio 3.8

Semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Riordina i fattori di $8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$ .

$8 \cos^{3} (t) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Passaggio 3.8.2

Riscrivi $\csc (\cos^{4} (t))$ in termini di seno e coseno.

$8 \cos^{3} (t) {(\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))})}^{2} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Passaggio 3.8.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))}$ .

$8 \cos^{3} (t) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Passaggio 3.8.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Passaggio 3.8.5

Moltiplica $8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ .

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Passaggio 3.8.5.1

$\frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ e $8$ .

$\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cos^{3} (t) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Passaggio 3.8.5.2

$\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ e $\cos^{3} (t)$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Passaggio 3.8.6

Riscrivi $\cot (\cos^{4} (t))$ in termini di seno e coseno.

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cdot \frac{\cos (\cos^{4} (t))}{\sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Passaggio 3.8.7

Combina.

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Passaggio 3.8.8

Moltiplica $\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ per $\sin (\cos^{4} (t))$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.8.8.1

Moltiplica $\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ per $\sin (\cos^{4} (t))$ .

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Passaggio 3.8.8.1.1

Eleva $\sin (\cos^{4} (t))$ alla potenza di $1$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin^{1} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Passaggio 3.8.8.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{{\sin (\cos^{4} (t))}^{2 + 1}} \sin (t)$

Passaggio 3.8.8.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Passaggio 3.8.9

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ e $\sin (t)$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

Passaggio 3.8.10

Moltiplica per $1$ .

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

Passaggio 3.8.11

Moltiplica per $1$ .

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t)) \cdot 1}$

Passaggio 3.8.12

Frazioni separate.

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} \cdot \frac{\cos^{3} (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

Passaggio 3.8.13

Converti da $\frac{1}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ a $\csc^{3} (\cos^{4} (t))$ .

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

Passaggio 3.8.14

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

Passaggio 3.8.15

Dividi $8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)$ per $1$ .

$8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$