Calcolo Esempi

$y = arccot (\sqrt{t})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y = arccot (t^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (arccot (t^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $t$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = arccot (t)$ e $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $arccot (u)$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{1 + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{1 + t^{1}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.3

Semplifica.

$- \frac{1}{1 + t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 4.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 4.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 4.8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 4.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 4.10

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + t} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.11

Moltiplica $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{1}{1 + t}$ .

$- \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2 (1 + t)}$

Passaggio 4.12

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 (1 + t) t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13

Semplifica.

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Passaggio 4.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{(2 \cdot 1 + 2 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2 \cdot 1 t^{\frac{1}{2}} + 2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.13.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.3.2

Moltiplica $t$ per $t^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.13.3.2.1

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

Passaggio 4.13.3.2.2

Moltiplica $t^{\frac{1}{2}}$ per $t$ .

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Passaggio 4.13.3.2.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

Passaggio 4.13.3.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 4.13.3.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.13.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 4.13.3.2.5

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.13.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.4.1

Scomponi $2 t^{\frac{1}{2}}$ da $2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.4.1.1

Scomponi $2 t^{\frac{1}{2}}$ da $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1) + 2 t^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.13.4.1.2

Scomponi $2 t^{\frac{1}{2}}$ da $2 t^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1) + 2 t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 4.13.4.1.3

Scomponi $2 t^{\frac{1}{2}}$ da $2 t^{\frac{1}{2}} (1) + 2 t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{2}{2}})$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 4.13.4.2

Dividi $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{1})}$

Passaggio 4.13.4.3

Semplifica.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t)}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t)}$