Calcolo Esempi

$y = \ln (\ln (2 t^{3}))$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\ln (\ln (2 t^{3})))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $t$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = \ln (2 t^{3})$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (2 t^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [\ln (2 t^{3})]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [\ln (2 t^{3})]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (2 t^{3})$ .

$\frac{1}{\ln (2 t^{3})} \frac{d}{d t} [\ln (2 t^{3})]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 2 t^{3}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 t^{3}$ .

$\frac{1}{\ln (2 t^{3})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t^{3}])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (2 t^{3})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{3}])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 t^{3}$ .

$\frac{1}{\ln (2 t^{3})} (\frac{1}{2 t^{3}} \frac{d}{d t} [2 t^{3}])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2 t^{3}}$ per $\frac{1}{\ln (2 t^{3})}$ .

$\frac{1}{2 t^{3} \ln (2 t^{3})} \frac{d}{d t} [2 t^{3}]$

Passaggio 3.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t^{3}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{2 t^{3} \ln (2 t^{3})} (2 \frac{d}{d t} [t^{3}])$

Passaggio 3.3.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.3.3.1

$2$ e $\frac{1}{2 t^{3} \ln (2 t^{3})}$ .

$\frac{2}{2 t^{3} \ln (2 t^{3})} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Passaggio 3.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 t^{3} \ln (2 t^{3})} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Passaggio 3.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{t^{3} \ln (2 t^{3})} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{t^{3} \ln (2 t^{3})} (3 t^{2})$

Passaggio 3.3.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

$3$ e $\frac{1}{t^{3} \ln (2 t^{3})}$ .

$\frac{3}{t^{3} \ln (2 t^{3})} t^{2}$

Passaggio 3.3.5.2

$\frac{3}{t^{3} \ln (2 t^{3})}$ e $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2}}{t^{3} \ln (2 t^{3})}$

Passaggio 3.3.5.3

Elimina il fattore comune di $t^{2}$ e $t^{3}$ .

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Passaggio 3.3.5.3.1

Scomponi $t^{2}$ da $3 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3}{t^{3} \ln (2 t^{3})}$

Passaggio 3.3.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.3.2.1

Scomponi $t^{2}$ da $t^{3} \ln (2 t^{3})$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3}{t^{2} (t \ln (2 t^{3}))}$

Passaggio 3.3.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{t^{2} \cdot 3}{t^{2} (t \ln (2 t^{3}))}$

Passaggio 3.3.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{t \ln (2 t^{3})}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{3}{t \ln (2 t^{3})}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{3}{t \ln (2 t^{3})}$