Calcolo Esempi

$y = \tan (\sqrt{t})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan (t^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\tan (t^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $t$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 4.8

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}}) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.9

$\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.10

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{\sec^{2} (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$