Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + x} - x$

Passaggio 1

Moltiplica per razionalizzare il numeratore.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x} - x) (\sqrt{x^{2} + x} + x)}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Espandi il numeratore usando il metodo FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + x}}^{2} + \sqrt{x^{2} + x} x + \sqrt{x^{2} + x} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 0}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Passaggio 2.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Passaggio 3

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x} + x}$

Passaggio 3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}} + x}$

Passaggio 3.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1} + x}$

Passaggio 3.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (x + 1)} + x}$

Passaggio 4

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Passaggio 5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + 1}$

Passaggio 6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}} + 1}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}} + 1}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Passaggio 7.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 8

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 10

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 11

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 11.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}} + 1}$

Passaggio 11.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Dividi $1 + 0$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Passaggio 11.3.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{1 + 1}$

Passaggio 11.3.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$